Q

Привет! Давай разберёмся с этой задачей.

Тебе нужно найти предел числовой последовательности:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{(3-n)^2 + (2-n)^2}{(1-n)^3 + (1+n)^3} \]

1. Упрощаем выражения:

   • Верхняя часть: \((3 - n)^2 + (2 - n)^2\).
   • \((3 - n)^2 = 9 - 6n + n^2\)
   • \((2 - n)^2 = 4 - 4n + n^2\)
   • Сложим: \(9 - 6n + n^2 + 4 - 4n + n^2 = 2n^2 - 10n + 13\).

2. Упрощаем знаменатель:

   • \((1-n)^3 = 1 - 3n + 3n^2 - n^3\)
   • \((1+n)^3 = 1 + 3n + 3n^2 + n^3\)
   • Сложим: \(1 - 3n + 3n^2 - n^3 + 1 + 3n + 3n^2 + n^3 = 6n^2 + 2\).

3. Выражение предела: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 10n + 13}{6n^2 + 2} \]

4. Делим числитель и знаменатель на \(n^2\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{10}{n} + \frac{13}{n^2}}{6 + \frac{2}{n^2}} \]

5. Предел:

   • При \(n \to \infty\), \(\frac{10}{n} \to 0\), \(\frac{13}{n^2} \to 0\), \(\frac{2}{n^2} \to 0\).
   • Остается: \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Итак, предел равен \(\frac{1}{3}\).

Если остались вопросы, пиши!