Q

Привет! Давай разберем эту задачу вместе.

Ты видишь, что у нас есть задача найти предел последовательности. Давай решим ее шаг за шагом.

1. Задана последовательность: \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{3n - 1} - \sqrt{25n^2 - n}\).

2. Мы заметим, что корни имеют дело с большими значениями переменной \(n\), поэтому стоит упростить выражение.

3. Попробуем избавиться от корней, умножив и разделив на сопряженное выражение: \(\sqrt{3n - 1} + \sqrt{25n^2 - n}\).

4. Умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение, получим разность квадратов в числителе: \((\sqrt{3n - 1})^2 - (\sqrt{25n^2 - n})^2\).

5. Это упростится до выражения: \((3n - 1) - (25n^2 - n)\).

6. Упростим его: \(3n - 1 - 25n^2 + n = -25n^2 + 4n - 1\).

7. Теперь у нас в числителе \(-25n^2 + 4n - 1\), а в знаменателе \(n (\sqrt{3/n - 1/n^2} + \sqrt{25 - 1/n})\).

8. При \(n\to\infty\), дроби, содержащие \(1/n\) и \(1/n^2\), стремятся к нулю.

9. Запишем предел более явным образом: \(-25n^2 / (n \times (\sqrt{25}))\).

10. Таким образом, имеем: \(-25n / (5n) = -5\).

Итак, предел этой последовательности равен \(-5\). Надеюсь, это помогло! Если есть вопросы, не стесняйся спрашивать.