q

Эй, давай разберемся с этой задачкой вместе!

Нам нужно найти предел последовательности, заданной как

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3n - 1} - \sqrt{125n^2 + n}}{\sqrt{n} - n}. \]

Для решения задачи попробуем упростить выражение.

1. Первым делом, используем стандартный прием с домножением на сопряженное выражение, чтобы устранить корни в числителе. Умножим и разделим на \((\sqrt{3n - 1} + \sqrt{125n^2 + n})\). Это даст нам:

\[ \frac{(\sqrt{3n - 1} - \sqrt{125n^2 + n})(\sqrt{3n - 1} + \sqrt{125n^2 + n})}{(\sqrt{n} - n)(\sqrt{3n - 1} + \sqrt{125n^2 + n})}. \]

2. Числитель упрощается до разницы квадратов:

\[ 3n - 1 - (125n^2 + n) = -125n^2 + 2n - 1. \]

3. Таким образом, основное выражение выглядит так:

\[ \frac{-125n^2 + 2n - 1}{(\sqrt{n} - n)(\sqrt{3n - 1} + \sqrt{125n^2 + n})}. \]

4. Рассмотрим поведение этого выражения при \(n \to \infty\). Обратите внимание, что при больших \(n\), влияние констант уменьшается и главную роль играют самые высокие степени \(n\).

5. Упростим выражение:

• Числитель: \(-125n^2\).
• Знаменатель: асимптотически ведет себя как \(n(-n)\sqrt{125}\), так что основным членом является \((-\sqrt{125})n^2\).

6. Предел становится:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{-125n^2}{(-\sqrt{125})n^2}. \]

7. Это предельное выражение равно

\[ \frac{-125}{-\sqrt{125}} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}. \]

Таким образом, предел равен \(5\sqrt{5}\).

Надеюсь, я смог помочь! Если что-то непонятно или нужно дополнительно объяснить, дай знать!