х+2у-3z=0 2x-y+4z=5 3x+y-z=2
Чтобы решить систему уравнений:
- \( x + 2y - 3z = 0 \)
- \( 2x - y + 4z = 5 \)
- \( 3x + y - z = 2 \)
мы можем воспользоваться методом подстановки или методом исключения.
Давайте применим метод исключения.
Сначала выразим одно из переменных через другие. Из первого уравнения выразим \( z \):
\[ 3z = x + 2y \]
\[ z = \frac{x + 2y}{3} \]
Теперь подставим это значение \( z \) во второе и третье уравнения:
Подстановка во второе уравнение:
\[ 2x - y + 4\left(\frac{x + 2y}{3}\right) = 5 \]
Умножим всё на 3, чтобы избавиться от дробей:
\[ 6x - 3y + 4(x + 2y) = 15 \]
\[ 6x - 3y + 4x + 8y = 15 \]
\[ 10x + 5y = 15 \]
\[ 2x + y = 3 \] (это будет нашим новым уравнением 4)
Подстановка в третье уравнение:
\[ 3x + y - \left(\frac{x + 2y}{3}\right) = 2 \]
Умножим всё на 3:
\[ 9x + 3y - (x + 2y) = 6 \]
\[ 9x + 3y - x - 2y = 6 \]
\[ 8x + y = 6 \] (это будет нашим новым уравнением 5)
Теперь у нас есть новая система уравнений:
- \( 2x + y = 3 \)
- \( 8x + y = 6 \)
Теперь вычтем уравнение (4) из уравнения (5):
\[ (8x + y) - (2x + y) = 6 - 3 \]
\[ 6x = 3 \]
\[ x = \frac{1}{2} \]
Теперь подставим значение \( x \) в уравнение (4), чтобы найти \( y \):
\[ 2\left(\frac{1}{2}\right) + y = 3 \]
\[ 1 + y = 3 \]
\[ y = 2 \]
Теперь подставим значения \( x \) и \( y \) в выражение для \( z \):
\[ z = \frac{\frac{1}{2} + 2 \cdot 2}{3} = \frac{\frac{1}{2} + 4}{3} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{8}{2}}{3} = \frac{\frac{9}{2}}{3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \]
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ x = \frac{1}{2}, \ y = 2, \ z = \frac{3}{2}. \]
Если у тебя есть дополнительные вопросы, не стесняйся задавать!
