Q

Привет! Давай разберёмся с этой задачей.

У нас есть предел числовой последовательности:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3n^2 - 1} - \sqrt{125n^2 - n}}{5/n - n} \]

Шаг 1. Упростим числитель. Мы можем воспользоваться рационализацией: умножим и разделим на сопряжённое выражение \(\sqrt{3n^2 - 1} + \sqrt{125n^2 - n}\).

Шаг 2. После умножения у нас получится выражение:

\[ \frac{(3n^2 - 1) - (125n^2 - n)}{(5/n - n)(\sqrt{3n^2 - 1} + \sqrt{125n^2 - n})} \]

Упростим числитель:

\[ 3n^2 - 1 - 125n^2 + n = -122n^2 + n - 1 \]

Шаг 3. Теперь рассмотрим знаменатель. Упростим \(5/n - n\):

\[ 5/n - n = \frac{5 - n^2 n}{n} = \frac{5 - n^3}{n} \]

Шаг 4. Попробуем разложить по доминирующим членам и заметим, что доминирующими будут член \(n^3\). По мере стремления \(n\) к бесконечности, эффект от других членов уменьшается.

Шаг 5. Предел приведёт нас к бесконечности в числителе и знаменателе, поэтому делим всё на \(n^3\):

Сокращая подобные члены:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{-122 + 1/n - 1/n^2}{-1 + 5/n^3} \]

Шаг 6. Так как по мере роста \(n\), элементы с \(n\) в числителе и знаменателе уменьшаются до нуля, получается:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{-122}{-1} = 122 \]

Итак, предел данной последовательности равен 122.