вычислите предел числовой последовательности

Привет! Давай разберёмся с этой задачей.

Нам нужно вычислить предел выражения:

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{\sqrt[3]{{3n^2 - 1}} - \sqrt[3]{{125n^3 + n}}}{\sqrt{5n^2 - n}} \]

Шаг 1: Упростим числитель. Поскольку \(n\) стремится к бесконечности, главные члены в кубических корнях будут \(3n^2\) и \(125n^3\). Можно сделать замену:

\[ \sqrt[3]{{3n^2 - 1}} \approx \sqrt[3]{{3n^2}} = n^{2/3}(3^{1/3}), \] \[ \sqrt[3]{{125n^3 + n}} \approx \sqrt[3]{{125n^3}} = n(5). \]

Шаг 2: Рассмотрим знаменатель. При больших \(n\) главный член будет \(5n^2\):

\[ \sqrt{5n^2 - n} \approx \sqrt{5n^2} = n\sqrt{5}. \]

Шаг 3: Вставим аппроксимации в предел:

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{n^{2/3}(3^{1/3}) - n(5)}{n\sqrt{5}}. \]

Шаг 4: Вынесем \(n\) в числителе:

\[ = \lim_{{n \to \infty}} \frac{n^{2/3}(3^{1/3}) - 5n}{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}. \]

Перепишем как:

\[ = \frac{1}{\sqrt{5}} \lim_{{n \to \infty}} (n^{-1/3} \cdot 3^{1/3} - 5). \]

Шаг 5: При \(n \to \infty\), \(n^{-1/3} \to 0\), поэтому остаётся только:

\[ = \frac{1}{\sqrt{5}}(0 - 5) = -\frac{5}{\sqrt{5}} = -\sqrt{5}. \]

Ответ: \(-\sqrt{5}\).

Если что-то непонятно, спрашивай!