Решить x/x-4 меньше 3

Чтобы решить неравенство \(\frac{x}{x - 4} < 3\), следуйте следующим шагам:

1. Приведем неравенство к общему виду. Для этого переместим 3 на левую сторону:

   \[ \frac{x}{x - 4} - 3 < 0 \]

2. Приведем к общему знаменателю. Знаменатель у нас — \(x - 4\). Приведем 3 к общему знаменателю:

   \[ \frac{x - 3(x - 4)}{x - 4} < 0 \]

   Упрощая числитель:

   \[ \frac{x - 3x + 12}{x - 4} < 0 \]

   Это можно записать как:

   \[ \frac{-2x + 12}{x - 4} < 0 \]

   Или, упрощая числитель:

   \[ \frac{12 - 2x}{x - 4} < 0 \]

3. Найдем нули числителя и знаменателя. Для числителя:

   \[ 12 - 2x = 0 \implies 2x = 12 \implies x = 6 \]

   Для знаменателя:

   \[ x - 4 = 0 \implies x = 4 \]

4. Определим знаки выражения на интервалах. Разделим числовую прямую на интервалы, используя найденные значения \(x = 4\) и \(x = 6\):

   • Интервал \( (-\infty, 4) \)
   • Интервал \( (4, 6) \)
   • Интервал \( (6, +\infty) \)

5. Проверим знаки на каждом интервале:

   • Для \(x < 4\) (например, \(x = 0\)): \[ \frac{12 - 2(0)}{0 - 4} = \frac{12}{-4} = -3 < 0 \] Знак отрицательный.

   • Для \(4 < x < 6\) (например, \(x = 5\)): \[ \frac{12 - 2(5)}{5 - 4} = \frac{12 - 10}{1} = 2 > 0 \] Знак положительный.

   • Для \(x > 6\) (например, \(x = 7\)): \[ \frac{12 - 2(7)}{7 - 4} = \frac{12 - 14}{3} = \frac{-2}{3} < 0 \] Знак отрицательный.

6. Запишем решение неравенства. Мы ищем интервалы, где дробь меньше нуля. Это происходит на интервалах \( (-\infty, 4) \) и \( (6, +\infty) \).

Таким образом, итоговое решение:

\[ x \in (-\infty, 4) \cup (6, +\infty) \]

Теперь вы можете проанализировать неравенство и решить аналогичные задачи! Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать их.