Решите задачу. При последовательном соединении двух конденсаторов эквивалентная емкость равна 0,8 мкФ, а при параллельном соединении — 5мкФ. Определить емкость каждого конденсатора
Обозначим емкости конденсаторов как \( C_1 \) и \( C_2 \).
При последовательном соединении конденсаторов эквивалентная емкость вычисляется по формуле:
\[ \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \]
При параллельном соединении:
\[ C_{eq} = C_1 + C_2 \]
Из условия задачи мы имеем:
- \( C_{eq\_последовательно} = 0.8 \, \text{мкФ} \)
- \( C_{eq\_параллельно} = 5 \, \text{мкФ} \)
Подставим значения в формулы:
- Для последовательного соединения:
\[ \frac{1}{0.8} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \]
- Для параллельного соединения:
\[ C_1 + C_2 = 5 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{0.8} = 1.25\)
- \(C_1 + C_2 = 5\)
Решим систему. Из второго уравнения выразим \(C_2\):
\[ C_2 = 5 - C_1 \]
Подставим \(C_2\) в первое уравнение:
\[ \frac{1}{C_1} + \frac{1}{5 - C_1} = 1.25 \]
Умножим все уравнение на \(C_1(5 - C_1)\):
\[ (5 - C_1) + C_1 = 1.25 \cdot C_1 (5 - C_1) \]
Упростим:
\[ 5 = 1.25 \cdot C_1 (5 - C_1) \]
Раскроем скобки:
\[ 5 = 6.25 C_1 - 1.25 C_1^2 \]
Приведем уравнение к стандартному виду:
\[ 1.25 C_1^2 - 6.25 C_1 + 5 = 0 \]
Теперь делим все на 1.25:
\[ C_1^2 - 5 C_1 + 4 = 0 \]
Решим квадратное уравнение по формуле:
\[ C_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1, b = -5, c = 4 \):
\[ C_1 = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \]
Таким образом, получаем два значения:
\[ C_1 = \frac{8}{2} = 4 \, \text{мкФ} \] \[ C_1 = \frac{2}{2} = 1 \, \text{мкФ} \]
Теперь найдем \(C_2\):
Если \(C_1 = 4 \, \text{мкФ}\):
\[ C_2 = 5 - 4 = 1 \, \text{мкФ} \]
Если \(C_1 = 1 \, \text{мкФ}\):
\[ C_2 = 5 - 1 = 4 \, \text{мкФ} \]
Ответ: \(C_1 = 4 \, \text{мкФ}\) и \(C_2 = 1 \, \text{мкФ}\) (или наоборот).
