3(х+1)<↓_х+5
Решим неравенство \(3(x + 1) < \sqrt{x} + 5\).
Первый шаг: Раскроем скобки. \[ 3x + 3 < \sqrt{x} + 5 \]
Второй шаг: Переместим все члены в одну сторону неравенства. Для этого вычтем \(\sqrt{x}\) и 5 из обеих сторон: \[ 3x + 3 - \sqrt{x} - 5 < 0 \] Упрощаем: \[ 3x - \sqrt{x} - 2 < 0 \]
Третий шаг: Теперь выражение выглядит как \(3x - \sqrt{x} - 2 < 0\). Это неравенство нелинейное из-за корня, поэтому сделаем замену. Пусть \(y = \sqrt{x}\), тогда \(x = y^2\): \[ 3y^2 - y - 2 < 0 \]
Четвёртый шаг: Решим уравнение \(3y^2 - y - 2 = 0\) с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) равен: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \] Теперь находим корни: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 5}{6} \] \[ y_1 = 1, \quad y_2 = -\frac{2}{3} \]
Пятый шаг: Так как \(y\) - это корень, отрицательное значение не имеет смысла. Таким образом, у нас только один корень: \(y = 1\). Мы получаем intervals: \( (-\infty, 1) \) и \( (1, +\infty) \).
Шестой шаг: Исследуем знаки функции \(3y^2 - y - 2\) на промежутках. Можно тестировать значения:
- Для \(y < 1\) (например, \(y = 0\)): \(3(0)^2 - 0 - 2 < 0\)
- Для \(y > 1\) (например, \(y = 2\)): \(3(2)^2 - 2 - 2 > 0\)
Таким образом, \(3y^2 - y - 2 < 0\) на интервале \(y < 1\).
- Седьмой шаг: Поскольку \(y = \sqrt{x}\), тогда: \[ \sqrt{x} < 1 \implies x < 1 \]
Итак, решением нашего неравенства будет: \[ x < 1 \]
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь по другим задачам, не стесняйтесь спрашивать!
