Вычислите предел числовой последовательности

Привет! Давай разберёмся с этим пределом:

Мы имеем:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3n^2 + 1} - \sqrt{12.5n^2 + n}}{5n - n} \]

Сначала упростим знаменатель:

\[ 5n - n = 4n \]

Теперь перепишем предел:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3n^2 + 1} - \sqrt{12.5n^2 + n}}{4n} \]

Чтобы упростить числитель, можно умножить и разделить на сопряжённое выражение:

\[ \frac{(\sqrt{3n^2 + 1} - \sqrt{12.5n^2 + n})(\sqrt{3n^2 + 1} + \sqrt{12.5n^2 + n})}{4n(\sqrt{3n^2 + 1} + \sqrt{12.5n^2 + n})} \]

Произведение сопряжённых выражений упрощает числитель:

\[ (\sqrt{3n^2 + 1})^2 - (\sqrt{12.5n^2 + n})^2 = (3n^2 + 1) - (12.5n^2 + n) = -9.5n^2 - n + 1 \]

Теперь предел будет:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{-9.5n^2 - n + 1}{4n(\sqrt{3n^2 + 1} + \sqrt{12.5n^2 + n})} \]

Наиболее значимый член в числителе — это \(-9.5n^2\). В знаменателе доминирующие члены под квадратными корнями — это \(3n^2\) и \(12.5n^2\), поэтому они дают приближение для корней как \(n\).

Так что предел становится:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{-9.5n^2}{4n \cdot n(\sqrt{3} + \sqrt{12.5})} \]

Выносим константы и сокращаем:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{-9.5}{4(\sqrt{3} + \sqrt{12.5})} \]

Итак, решение предела:

\[ \frac{-9.5}{4(\sqrt{3} + \sqrt{12.5})} \]

Вот и всё! Если что-то непонятно или нужны дополнительные вопросы, дай знать!