В прямоугольном треугольнике катет a = 7.5 см, радиус описанной окружности R = 9.75 см.Найдите площад треугольника.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, можно воспользоваться формулой площади для прямоугольного треугольника:

\[ S = \frac{a \cdot b}{2} \]

где \( a \) и \( b \) — это два катета треугольника. В данной задаче известен один катет \( a = 7.5 \) см и радиус описанной окружности \( R = 9.75 \) см.

Существует зависимость между радиусом описанной окружности \( R \) прямоугольного треугольника и его катетами \( a \) и \( b \):

\[ R = \frac{c}{2} \]

где \( c \) — гипотенуза треугольника. Поскольку \( R = 9.75 \) см, мы можем найти гипотенузу:

\[ c = 2R = 2 \cdot 9.75 = 19.5 \text{ см} \]

Теперь можем использовать теорему Пифагора для нахождения второго катета \( b \):

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Подставим известные значения:

\[ (19.5)^2 = (7.5)^2 + b^2 \]

Вычислим:

\[ 380.25 = 56.25 + b^2 \]

Теперь решим уравнение относительно \( b^2 \):

\[ b^2 = 380.25 - 56.25 = 324 \]

\[ b = \sqrt{324} = 18 \text{ см} \]

Теперь у нас есть оба катета: \( a = 7.5 \) см и \( b = 18 \) см. Теперь можем найти площадь треугольника:

\[ S = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{7.5 \cdot 18}{2} = \frac{135}{2} = 67.5 \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника составляет \( 67.5 \) см².