Вычислите предел числовой последовательности

Привет! Давай разберёмся, как вычислить предел этой числовой последовательности. У нас дано:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{3n-1} - \sqrt[3]{125n^3} - n}{\sqrt{n} - n} \]

Шаг 1: Упростим числитель

Выпишем числитель:

\[\sqrt[3]{3n-1} - \sqrt[3]{125n^3} - n\]

Заметим, что \(\sqrt[3]{125n^3} = 5n\).

Перепишем числитель:

\[\sqrt[3]{3n-1} - 5n - n\]

Это можно упростить как:

\[\sqrt[3]{3n-1} - 6n\]

Шаг 2: Упростим знаменатель

Запишем знаменатель:

\[\sqrt{n} - n\]

Шаг 3: Анализ при \(n \to \infty\)

Для числителя:

\(\sqrt[3]{3n-1} \approx \sqrt[3]{3n} = n^{1/3} \cdot 3^{1/3}\) на больших \(n\).

В знаменателе \(\sqrt{n} - n = n^{1/2} - n\).

Шаг 4: Оценка предела

Преобразим выражение с учётом доминирующих членов:

Числитель: \[\approx n^{1/3} \cdot 3^{1/3} - 6n \approx -6n\]

Знаменатель: \[\approx -n\]

Предел тогда будет:

\[\frac{-6n}{-n} = 6\]

Таким образом, предел равен 6.

Если есть вопросы или что-то неясно, дай знать!