Й

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

Нужно найти предел функции, когда x стремится к 0:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - 3x)}{\text{arctg}(5x)} \]

1. Разложим логарифм в числителе в степенной ряд.

Используем приближение логарифма при малых x: \[ \ln(1 - u) \approx -u, \quad \text{где } u = 3x \Rightarrow \ln(1 - 3x) \approx -3x \]

2. Разложим арктангенс в знаменателе.

Ряд для арктангенса при малых x: \[ \text{arctg}(v) \approx v, \quad \text{где } v = 5x \Rightarrow \text{arctg}(5x) \approx 5x \]

3. Теперь подставим разложения.

Получаем: \[ \lim_{x \to 0} \frac{-3x}{5x} \]

4. Упростим выражение.

Выражение сокращается до: \[ \lim_{x \to 0} \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5} \]

Ответ: \(-\frac{3}{5}\)

Вот и всё! Если есть вопросы, дай знать.