В прямоугольном треугольникегипотенуза c= 19,5 см, радиус вписанной окружности r= 3 см. Найдите длин катетов a и b.
Чтобы найти длины катетов \(a\) и \(b\) прямоугольного треугольника, можно использовать известные формулы, связывающие гипотенузу, радиус вписанной окружности и катеты.
В прямоугольном треугольнике справедливо следующее соотношение:
\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]
где:
- \(r\) — радиус вписанной окружности,
- \(a\) и \(b\) — катеты,
- \(c\) — гипотенуза.
Подставив известные значения:
\[ 3 = \frac{a + b - 19.5}{2} \]
Умножим обе стороны на 2:
\[ 6 = a + b - 19.5 \]
Теперь решим это уравнение для \(a + b\):
\[ a + b = 6 + 19.5 = 25.5 \]
Теперь у нас есть сумма катетов \(a + b = 25.5\). Также известна теорема Пифагора, которая гласит, что:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Подставим значение гипотенузы \(c\):
\[ a^2 + b^2 = 19.5^2 = 380.25 \]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \(a + b = 25.5\)
- \(a^2 + b^2 = 380.25\)
Чтобы выразить \(b\) через \(a\), используем первое уравнение:
\[ b = 25.5 - a \]
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
\[ a^2 + (25.5 - a)^2 = 380.25 \]
Раскроем скобки:
\[ a^2 + (25.5^2 - 2 \cdot 25.5 \cdot a + a^2) = 380.25 \]
Упрощаем:
\[ 2a^2 - 51a + 650.25 - 380.25 = 0 \]
Соберём все члены в одном уравнении:
\[ 2a^2 - 51a + 270 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-51)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 270 \] \[ D = 2601 - 2160 = 441 \]
Теперь найдём корни уравнения:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{51 \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 2} \] \[ \sqrt{441} = 21 \]
Итак:
\[ a_1 = \frac{51 + 21}{4} = \frac{72}{4} = 18 \] \[ a_2 = \frac{51 - 21}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 \]
Следовательно, \(a = 18\) см и \(b = 25.5 - 18 = 7.5\) см.
В итоге, катеты треугольника:
- \(a = 18\) см,
- \(b = 7.5\) см.
