й

Привет! Давай разберемся с этой задачей на нахождение предела.

Наша задача — найти предел функции:

\[ \lim_{{x \to 0}} \left( \frac{{\sin 2x}}{x} \right)^{1-x} \]

Шаг 1: Найдем предел для внутренней части:

Предел \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin 2x}}{x}\) равен 2, так как это стандартный предел, который решается через правило Лопиталя или разложением синуса в ряд:

\[ \lim_{{u \to 0}} \frac{\sin u}{u} = 1 \]

Здесь \(u = 2x\), и \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin 2x}{2x} = 1\). Умножаем на 2:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \]

Шаг 2: Подставляем предел внутренней части в основное выражение:

\[ \lim_{{x \to 0}} (2)^{1-x} \]

Шаг 3: Найдем этот предел:

Здесь мы имеем \( (2)^{1-x} \). При \(x \to 0\), выражение становится \(2^{1-0}\), то есть просто 2.

Итак, предел равен:

\[ \lim_{{x \to 0}} (2)^{1-x} = 2 \]

Ответ: 2

Если что-то неясно, не стесняйся спрашивать!