Найти точку минимума функции y=x^3 -14x^2 + 49x+3.
Чтобы найти точку минимума функции \( y = x^3 - 14x^2 + 49x + 3 \), необходимо выполнить несколько шагов, связанных с нахождением производной функции и определением критических точек.
Найдите первую производную функции:
\[ y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 28x + 49 \]
Найдите критические точки, приравняв первую производную к нулю:
\[ 3x^2 - 28x + 49 = 0 \]
Для решения этого квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 49 = 784 - 588 = 196 \]
Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два разных корня. Находим корни по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 \pm 14}{6} \]
Получаем два значения:
\[ x_1 = \frac{42}{6} = 7 \] \[ x_2 = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \approx 2.33 \]
Определите, какой из критических пунктов соответствует минимуму, используя вторую производную:
Найдем вторую производную:
\[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 28 \]
Проверим значения второй производной в критических точках:
Для \( x_1 = 7 \):
\[ y''(7) = 6 \cdot 7 - 28 = 42 - 28 = 14 \quad (\text{положительно, значит максимум}) \]
Для \( x_2 = \frac{7}{3} \):
\[ y''\left(\frac{7}{3}\right) = 6 \cdot \frac{7}{3} - 28 = 14 - 28 = -14 \quad (\text{отрицательно, значит минимум}) \]
Найдите координаты точки минимума:
Теперь подставим \( x = \frac{7}{3} \) обратно в исходную функцию:
\[ y\left(\frac{7}{3}\right) = \left(\frac{7}{3}\right)^3 - 14 \left(\frac{7}{3}\right)^2 + 49\left(\frac{7}{3}\right) + 3 \]
Вычисления будут следующими:
\[ = \frac{343}{27} - 14 \cdot \frac{49}{9} + \frac{343}{3} + 3 \] \[ = \frac{343}{27} - \frac{686}{9} + \frac{343}{3} + 3 \] Переведем все дроби к общему знаменателю и упростим.
Точка минимума функции \( y = x^3 - 14x^2 + 49x + 3 \) находится в точке \( x = \frac{7}{3} \) с соответствующим значением функции \( y\left(\frac{7}{3}\right) \), которое вы сможете найти после окончательных расчетов.
