Вычислите предел функции

Давай разберем, как найти предел функции. Нам нужно вычислить предел выражения:

\[ \lim_{x \to -1/3} \frac{9x^2 - 1}{x - 1/3} \]

Шаг 1: Подставим значение x = -1/3

Попробуем подставить -1/3 в выражение:

\[ 9(-1/3)^2 - 1 = 9 \cdot 1/9 - 1 = 1 - 1 = 0 \]

Числитель равен 0, а знаменатель тоже обращается в 0, то есть мы имеем неопределенность 0/0.

Шаг 2: Применим правила пределов и алгебраические преобразования

Выразим числитель как разность квадратов:

\[ 9x^2 - 1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x - 1)(3x + 1) \]

Таким образом, функция становится:

\[ \frac{(3x - 1)(3x + 1)}{x + 1/3} \]

Теперь упростим выражение:

\( x + 1/3 = \frac{3x + 1}{3} \)

Функция после упрощения:

\[ \frac{(3x - 1)(3x + 1)}{(3x + 1)/3} = 3(3x - 1) \]

Шаг 3: Подставим x = -1/3 снова в упрощенное выражение

Теперь подставим в полученное выражение \(3(3x - 1)\):

\[ 3(3(-1/3) - 1) = 3(-1 - 1) = 3(-2) = -6 \]

Итак, предел функции равен -6.

Если что-то непонятно, спрашивай!