Вычислите предел функции.
Привет! Давай разберём эту задачу вместе.
Нам нужно найти предел функции:
\[ \lim_{x \to 1/3} \frac{9x^2 - 1}{x - 1/3} \]
Заметим, что при подстановке \(x = 1/3\) числитель и знаменатель обращаются в ноль. Такие случаи требуют использования либо разложения в скобки, либо правила Лопиталя.
Разложим числитель:
\(9x^2 - 1 = (3x)^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1)\)Подставим разложение в предел:
\[ \lim_{x \to 1/3} \frac{(3x - 1)(3x + 1)}{x - 1/3} \]
Здесь видно, что \(3x - 1 = 3(x - 1/3)\), поэтому:
\[ \lim_{x \to 1/3} \frac{3(x - 1/3)(3x + 1)}{x - 1/3} \]
Сокращаем:
\[ \lim_{x \to 1/3} 3(3x + 1) \]
Теперь подставим \(x = 1/3\):
\[ 3(3 \times 1/3 + 1) = 3(1 + 1) = 3 \times 2 = 6 \]
Итак, предел функции равен 6. Если есть ещё вопросы, спрашивай!
