Вычислите предел функции.

Чтобы вычислить предел функции при \( x \to -\frac{1}{3} \) для выражения \(\frac{9x^2 - 1}{x + \frac{1}{3}}\), давай решим это шаг за шагом.

1. Приведение числителя к нулю: Заметим, что \(9x^2 - 1\) можно переписать как \((3x - 1)(3x + 1)\).

2. Общий множитель: Мы видим, что при \( x = -\frac{1}{3} \), знаменатель равен нулю, а в числителе получается \((3x + 1)\) тоже равен нулю. Значит, \(3x + 1\) это общий множитель.

3. Сокращение выражения: Предел можно записать как: \[ \lim_{x \to -\frac{1}{3}} \frac{(3x - 1)(3x + 1)}{x + \frac{1}{3}} = \lim_{x \to -\frac{1}{3}} (3x - 1) \] Причём \( x + \frac{1}{3} \) и \( 3x + 1 \) равны, что позволяет сократить эти члены.

4. Подстановка: Теперь, вычислим \(\lim_{x \to -\frac{1}{3}} (3x - 1)\). Подставляем \(x = -\frac{1}{3}\) и получаем: \[ 3(-\frac{1}{3}) - 1 = -1 - 1 = -2 \]

Таким образом, предел функции равен \(-2\).