Найти предел фунции
Привет! Давай вместе найдем предел функции.
Нам нужно найти предел функции:
\[ \lim_{x \to -\frac{1}{3}} \frac{9x^2 - 1}{x + \frac{1}{3}} \]
Проверим подстановку напрямую Подставляем \( x = -\frac{1}{3} \) в числитель: \( 9(-\frac{1}{3})^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \).
В знаменателе тоже будет: \(-\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0\).
Получается неопределенность \(\frac{0}{0}\).
Используем метод разложения на множители Числитель можно представить как разность квадратов: \( 9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1) \).
Упростим выражение Теперь выражение станет:
\[ \frac{(3x - 1)(3x + 1)}{x + \frac{1}{3}} \]
Знаменатель можно переписать как:
\[ x + \frac{1}{3} = x + \frac{1}{3} \]
Управляемся с разностью Так как \( x + \frac{1}{3} \) — это корень, перезапишем:
\[ 3x + 1 = 3(x + \frac{1}{3}) \]
Тогда разложенное выражение упрощается:
\[ = (3x - 1) \]
Найдем предел Подставляем \( x = -\frac{1}{3} \) в оставшееся выражение:
\[ 3(-\frac{1}{3}) - 1 = -1 - 1 = -2 \]
Таким образом, предел функции равен \(-2\).
