Вычислить предел функции

Привет! Давай решим этот предел вместе.

У нас есть функция \(\frac{\sqrt{13 - x} - 3}{\sqrt{x - 2}}\) и нужно найти её предел при \(x \to 4\).

Первым делом попробуем подставить \(x = 4\) в нашу функцию. Мы видим, что получится неопределенность \( \frac{0}{0} \). Поэтому нужно использовать рационализацию числителя.

Для этого домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение числителя:

\[ \frac{\sqrt{13 - x} - 3}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{13 - x} + 3}{\sqrt{13 - x} + 3} \]

Получим новую форму:

\[ \frac{(13 - x) - 9}{(\sqrt{x - 2})(\sqrt{13 - x} + 3)} \]

Упростим числитель:

\[ 13 - x - 9 = 4 - x \]

Теперь у нас:

\[ \frac{4 - x}{(\sqrt{x - 2})(\sqrt{13 - x} + 3)} \]

Разделим числитель и знаменатель на \(x - 4\) (заметь: это дает -1).

Теперь предел:

\[ \lim_{x \to 4} -\frac{1}{\sqrt{x - 2}(\sqrt{13 - x} + 3)} \]

Подставляем \(x = 4\):

\[ -\frac{1}{\sqrt{4 - 2}(\sqrt{13 - 4} + 3)} \]

Упрощаем дальше:

\[ -\frac{1}{\sqrt{2}(3 + 3)} \]

Получаем:

\[ -\frac{1}{6\sqrt{2}} \]

Ответ: \(-\frac{1}{6\sqrt{2}}\)

Если остались вопросы, спрашивай!