Вычислите предел числовой последовательности

Давай разберемся с этой задачей. Нам нужно найти предел числовой последовательности, где предел n стремится к бесконечности:

\[ \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{3n-1} - \sqrt[5]{125n^3+n} \right) \]

1. Оценим первую часть: \(\sqrt[3]{3n-1}\). При больших значениях \(n\), выражение \(3n-1\) приблизительно равно \(3n\). Тогда: \[ \sqrt[3]{3n-1} \approx \sqrt[3]{3n} = n^{1/3} \cdot 3^{1/3} \]

2. Оценим вторую часть: \(\sqrt[5]{125n^3+n}\). При больших значениях \(n\), выражение \(125n^3+n\) приближается к \(125n^3\). Тогда: \[ \sqrt[5]{125n^3+n} \approx \sqrt[5]{125n^3} = n^{3/5} \cdot 125^{1/5} \]

3. Сравним степени:

   • Первая часть имеет степень \(n^{1/3}\).
   • Вторая часть имеет степень \(n^{3/5}\).

Сравнивая степени, видим, что \(3/5\) больше \(1/3\). Следовательно, с увеличением \(n\), \(\sqrt[5]{125n^3+n}\) растет быстрее, чем \(\sqrt[3]{3n-1}\).

Таким образом, предел стремится к \(-\infty\).

Вот и весь ход решения! Если остались вопросы, пиши!