Вася, Алина и Серёжа занимаются прополкой огорода, который находится возле дома их бабушки. Работают они с разной скоростью. Вчерашняя работа показала, что Вася и Алина выпалывают гряду за 4 мин, Алина и Серёжа выпалывают её же за 5 мин, Серёжа и Вася - за 12 мин. За сколько минут выполнят эту работу все вместе? Ответ: втроём дети выполнят работу за МИН.

Давайте решим задачу вместе!

Обозначим скорость работы каждого из детей:

• Пусть скорость Васи – \( V_1 \).
• Пусть скорость Алины – \( V_2 \).
• Пусть скорость Серёжи – \( V_3 \).

Из условия задачи у нас есть следующее:

1. Вася и Алина выпалывают гряду за 4 минуты: \[ V_1 + V_2 = \frac{1}{4} \text{ (гряды в минуту)} \]

2. Алина и Серёжа выпалывают гряду за 5 минут: \[ V_2 + V_3 = \frac{1}{5} \text{ (гряды в минуту)} \]

3. Серёжа и Вася выпалывают гряду за 12 минут: \[ V_3 + V_1 = \frac{1}{12} \text{ (гряды в минуту)} \]

Теперь у нас есть система уравнений. Чтобы найти конечную скорость всех троих детей, сложим все три уравнения:

\[ (V_1 + V_2) + (V_2 + V_3) + (V_3 + V_1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{12} \]

Упрощаем левую часть: \[ 2V_1 + 2V_2 + 2V_3 = 2(V_1 + V_2 + V_3) \]

Теперь найдём правую часть. Для этого приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4, 5 и 12 равен 60.

Значит: \[ \frac{1}{4} = \frac{15}{60}, \quad \frac{1}{5} = \frac{12}{60}, \quad \frac{1}{12} = \frac{5}{60} \] Теперь суммируем: \[ \frac{15}{60} + \frac{12}{60} + \frac{5}{60} = \frac{32}{60} = \frac{8}{15} \]

Таким образом, у нас получается: \[ 2(V_1 + V_2 + V_3) = \frac{8}{15} \]

Делим обе стороны на 2: \[ V_1 + V_2 + V_3 = \frac{4}{15} \text{ (гряды в минуту)} \]

Теперь, чтобы найти время, которое потребуется всем троим, делим 1 (гряду) на их общую скорость: \[ T = \frac{1}{V_1 + V_2 + V_3} = \frac{1}{\frac{4}{15}} = \frac{15}{4} = 3.75 \text{ минут} \]

Итак, все трое детей выполнят работу за \( 3.75 \) минут, что можно выразить как 3 минуты 45 секунд. Ответ:

Втроём дети выполнят работу за 3.75 мин.