Решите уравнение x2 +у2-2x+6y = 0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения х - Зу.

Для решения уравнения \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \), начнем с упрощения его.

Перепишем уравнение, сгруппировав по переменным \( x \) и \( y \):

\[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \]

Теперь преобразуем его, выполнив Completing the square (сводя к квадрату):

1. Для \( x^2 - 2x \): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

2. Для \( y^2 + 6y \): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

Теперь подставим эти преобразования в изначальное уравнение:

\[ ((x - 1)^2 - 1) + ((y + 3)^2 - 9) = 0 \]

Упрощаем:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \]

Это приводит к уравнению окружности:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Теперь найдем целочисленные (целые) решения этого уравнения. Окружность имеет радиус \(\sqrt{10}\) и центр в точке \( (1, -3) \).

Теперь мы можем перечислить целочисленные точки, которые удовлетворяют уравнению:

• \( (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \) может быть переписано как \( (x - 1)^2 \) и \( (y + 3)^2 \) равны следующим парам:

1. \( (0, \pm \sqrt{10}) \) - нецелые
2. \( (1, 3) \) и \( (1, -3) \) и т.д.

Поскольку \( \sqrt{10} \) не является целым числом, будем искать целочисленные точки:

Пара целых чисел для окружности \( (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \):

1. \( (4, -3) \)
2. \( (-2, -3) \)
3. \( (1, -1) \)
4. \( (1, -5) \)
5. \( (3, -2) \)
6. \( (3, -4) \)
7. \( (-1, -2) \)
8. \( (-1, -4) \)

Теперь подсчитаем значения \( x - 3y \) для каждой пары целых решений.

1. Для \( (4, -3) \): \( 4 - 3(-3) = 4 + 9 = 13 \)
2. Для \( (-2, -3) \): \( -2 - 3(-3) = -2 + 9 = 7 \)
3. Для \( (1, -1) \): \( 1 - 3(-1) = 1 + 3 = 4 \)
4. Для \( (1, -5) \): \( 1 - 3(-5) = 1 + 15 = 16 \)
5. Для \( (3, -2) \): \( 3 - 3(-2) = 3 + 6 = 9 \)
6. Для \( (3, -4) \): \( 3 - 3(-4) = 3 + 12 = 15 \)
7. Для \( (-1, -2) \): \( -1 - 3(-2) = -1 + 6 = 5 \)
8. Для \( (-1, -4) \): \( -1 - 3(-4) = -1 + 12 = 11 \)

Теперь, проанализировав все результаты, наибольшее значение \( x - 3y \) среди найденных решений:

Максимальное: \[ \boxed{16} \]