Хорды окружности АВ и СР пересекаются в точке Е. Найти длину отрезка РЕ и СЕ, если СР = 12 см, АЕ=7 см, ЕВ = 4 см.
Для решения данной задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд в круге. Это свойство гласит, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Обозначим наши отрезки:
- \( AE = 7 \) см,
- \( EB = 4 \) см,
- \( CR = 12 \) см,
- Пусть \( RE = x \) см и \( SE = y \) см.
По свойству хорд мы можем записать уравнение: \[ AE \cdot EB = RE \cdot SE, \] или, подставив известные величины: \[ 7 \cdot 4 = x \cdot y. \] Вычисляем левую часть: \[ 28 = x \cdot y. \]
Теперь у нас есть уравнение, связывающее \( x \) и \( y \). Также мы знаем, что длина отрезка \( CR \) равна сумме \( RE \) и \( SE \): \[ x + y = CR = 12. \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( xy = 28 \)
- \( x + y = 12 \)
Можно выразить \( y \) через \( x \) из второго уравнения: \[ y = 12 - x. \]
Подставим это значение во первое уравнение: \[ x(12 - x) = 28. \] Раскроем скобки: \[ 12x - x^2 = 28. \] Перенесем 28 в левую часть: \[ -x^2 + 12x - 28 = 0. \] Умножим уравнение на -1 для упрощения: \[ x^2 - 12x + 28 = 0. \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 144 - 112 = 32. \]
Теперь найдем корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{2}. \]
Таким образом, мы имеем два значения для \(x\): \[ x_1 = 6 + 2\sqrt{2} \quad и \quad x_2 = 6 - 2\sqrt{2}. \]
Теперь подставим найденные значения \(x\) обратно в уравнение \(y = 12 - x\): Для \(x_1\): \[ y_1 = 12 - (6 + 2\sqrt{2}) = 6 - 2\sqrt{2}. \]
Для \(x_2\): \[ y_2 = 12 - (6 - 2\sqrt{2}) = 6 + 2\sqrt{2}. \]
Таким образом, длины отрезков \( RE \) и \( SE \) равны:
- \( RE = 6 + 2\sqrt{2} \) см,
- \( SE = 6 - 2\sqrt{2} \) см.
Теперь подытожим:
- Длина отрезка \( PE = RE = 6 + 2\sqrt{2} \) см,
- Длина отрезка \( CE = SE = 6 - 2\sqrt{2} \) см.
