Найти точку минимума функции y=x^3 -14x^2 + 49x+3.
Чтобы найти точку минимума функции \( y = x^3 - 14x^2 + 49x + 3 \), необходимо выполнить несколько шагов: найти производную функции, приравнять ее к нулю и решить уравнение для нахождения критических точек. Затем мы определим, являются ли эти точки минимумами или максимумами с помощью второго производного теста.
Найдем первую производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 14x^2 + 49x + 3) = 3x^2 - 28x + 49. \]
Приравняем первую производную к нулю для нахождения критических точек: \[ 3x^2 - 28x + 49 = 0. \]
Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 49 = 784 - 588 = 196. \]
Корни уравнения находятся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{28 \pm 14}{6}. \]
Таким образом, получаем два корня: \[ x_1 = \frac{42}{6} = 7, \quad x_2 = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}. \]
Теперь найдем вторую производную: \[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(3x^2 - 28x + 49) = 6x - 28. \]
Теперь необходимо проверить, являются ли критические точки минимумами или максимумами. Подставим найденные значения \(x\) в вторую производную:
Для \(x_1 = 7\): \[ y''(7) = 6 \cdot 7 - 28 = 42 - 28 = 14 \quad (> 0) \quad \Rightarrow \text{минимум.} \]
Для \(x_2 = \frac{7}{3}\): \[ y''\left(\frac{7}{3}\right) = 6 \cdot \frac{7}{3} - 28 = 14 - 28 = -14 \quad (< 0) \quad \Rightarrow \text{максимум.} \]
- Теперь мы знаем, что точка минимума находится в \(x = 7\). Чтобы найти значение функции в этой точке, подставляем значение \(x\) в исходную функцию: \[ y(7) = 7^3 - 14 \cdot 7^2 + 49 \cdot 7 + 3. \] \[ = 343 - 14 \cdot 49 + 343 + 3 = 343 - 686 + 343 + 3 = 3. \]
Таким образом, точка минимума функции \( y = x^3 - 14x^2 + 49x + 3 \) находится в \( (7, 3) \).
