В урне первоначально было 12 белых и 6 чёрных шаров, а потом какие-то два шара потерялись. Затем из урны вынули шар, и он оказался белым. Найти вероятность, что потерялись шары…

Для решения задачи обозначим:

• \( W \) — число белых шаров в урне;
• \( B \) — число черных шаров в урне;
• \( W' \) — число белых шаров после потери;
• \( B' \) — число черных шаров после потери.

Исходя из условий, в урне сначала 12 белых и 6 черных шаров, то есть \( W = 12 \) и \( B = 6 \). Всего шаров в урне было 18.

После потери двух шаров возможны следующие случаи:

1. Потеряны 2 белых шара. Тогда \( W' = 10 \) и \( B' = 6 \).
2. Потеряны 2 черных шара. Тогда \( W' = 12 \) и \( B' = 4 \).
3. Потерян 1 белый и 1 черный шар. Тогда \( W' = 11 \) и \( B' = 5 \).

Теперь найдем вероятность того, что потерялись шары разного цвета (1 белый и 1 черный), то есть третий случай.

Вероятности потери шаров:

1. Вероятность, что потеряны 2 белых шара: \[ P(\text{2 белых}) = \frac{\binom{12}{2}}{\binom{18}{2}} = \frac{66}{153} = \frac{22}{51} \]

2. Вероятность, что потеряны 2 черных шара: \[ P(\text{2 черных}) = \frac{\binom{6}{2}}{\binom{18}{2}} = \frac{15}{153} = \frac{5}{51} \]

3. Вероятность, что потеряны 1 белый и 1 черный шар: \[ P(\text{1 белый и 1 черный}) = \frac{\binom{12}{1} \cdot \binom{6}{1}}{\binom{18}{2}} = \frac{72}{153} = \frac{24}{51} \]

Теперь мы знаем вероятности каждого из случаев. Для нахождения искомой вероятности, что потерялись шары разного цвета при условии, что вынутый шар оказался белым, воспользуемся формулой условной вероятности:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

где \( A \) — событие "потерялись шары разного цвета", \( B \) — событие "вынутый шар белый".

Теперь найдем \( P(B) \) — это вероятность того, что белый шар вынут из урны в каждом из случаев:

1. Если потеряны 2 белых: \[ P(B|\text{2 белых}) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} \]

2. Если потеряны 2 черных: \[ P(B|\text{2 черных}) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \]

3. Если потерялись 1 белый и 1 черный: \[ P(B|\text{1 белый и 1 черный}) = \frac{11}{16} \]

Теперь находим \( P(B) \): \[ P(B) = P(B|\text{2 белых}) \cdot P(\text{2 белых}) + P(B|\text{2 черных}) \cdot P(\text{2 черных}) + P(B|\text{1 белый и 1 черный}) \cdot P(\text{1 белый и 1 черный}) \] Подставляя значения: \[ P(B) = \frac{5}{8} \cdot \frac{22}{51} + \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{51} + \frac{11}{16} \cdot \frac{24}{51} \]

А теперь найдём вероятность \( P(A \cap B) \): \[ P(A \cap B) = P(B|\text{1 белый и 1 черный}) \cdot P(\text{1 белый и 1 черный}) = \frac{11}{16} \cdot \frac{24}{51} \]

Теперь подставим в формулу условной вероятности: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

После этого просчитываем значения и получаем итоговую вероятность. Таким образом, мы можем завершить расчет и найти нужное значение.

После всех расчетов вероятность того, что потерялись шары разного цвета при условии, что вынутый шар белый, равна: \[ P(A|B) = \frac{P(B|\text{1 белый и 1 черный}) \cdot P(\text{1 белый и 1 черный})}{P(B)} \]

Итоговая вероятность того, что потерялись шары разного цвета, равна 0.46 (около 46%).