В секции по спортивной гимнастике занимаются 11 ребят с тренером. Для участия в соревнованиях нужно собрать команду из 5 человек. Скольким способами можно это сделать

Чтобы определить, скольким образом можно выбрать команду из 5 человек из 11, мы будем использовать формулу комбинаторики для сочетаний. Сочетания используются, когда порядок не имеет значения.

Формула для вычисления сочетаний выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n \) - общее количество элементов (в нашем случае 11 ребят),
• \( k \) - количество выбираемых элементов (в нашем случае 5 человек),
• \( n! \) - факториал числа \( n \) (произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \)).

Подставляем наши значения в формулу:

\[ C(11, 5) = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!} \]

Теперь посчитаем факториалы:

• \( 11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \) (заметим, что \( 6! \) сокращается)
• \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)

Подставим в формулу:

\[ C(11, 5) = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{120} \]

Теперь произведем расчет:

\[ 11 \times 10 = 110 \] \[ 110 \times 9 = 990 \] \[ 990 \times 8 = 7920 \] \[ 7920 \times 7 = 55440 \]

Теперь разделим на \( 120 \):

\[ \frac{55440}{120} = 462 \]

Таким образом, команду из 5 человек можно составить 462 способами.