Решите в простых числах (p, q, r – простые) уравнение 77p + 44q = 1450r.

Чтобы решить уравнение \( 77p + 44q = 1450r \) в простых числах \( p, q, r \), можно сначала упростить его.

Так как коэффициенты 77 и 44 имеют общий делитель 11, разделим всё уравнение на 11:

\[ \frac{77p}{11} + \frac{44q}{11} = \frac{1450r}{11} \]

Это даёт нам:

\[ 7p + 4q = \frac{1450r}{11} \]

Теперь заметим, что \( \frac{1450}{11} = 131.8181... \), что не является целым числом. Это означает, что \( r \) должно быть таковым, чтобы \( 1450r \) делилось на 11 целым образом.

Рассмотрим 1450 по модулю 11:

\[ 1450 \mod 11 = 1450 - 11 \times 131 = 1450 - 1441 = 9 \]

Теперь получится, что \( 1450r \equiv 9r \mod 11 \). Для \( 1450r \) делится на 11, \( 9r \) должно быть кратно 11, что подразумевает, что \( r \) может принимать значения, кратные 11.

Поскольку \( r \) является простым числом, единственным подходящим значением, удовлетворяющим условиям уравнения, является \( r = 11 \). Подставим \( r = 11 \) в уравнение:

\[ 77p + 44q = 1450 \times 11 \]

Что является:

\[ 77p + 44q = 15950 \]

Поделим всё на 11:

\[ 7p + 4q = 1450 \]

Теперь нам нужно найти простые \( p \) и \( q \). Из этого уравнения выразим \( q \):

\[ 4q = 1450 - 7p \]

Следовательно,

\[ q = \frac{1450 - 7p}{4} \]

Для \( q \ быть целым числом, \( 1450 - 7p \) должно делиться на 4. Найдем, какое значение \( p \) даст делимость на 4:

\[ 1450 \mod 4 = 2 \] \[ 7p \mod 4 \equiv 3p \mod 4 \]

Таким образом:

\[ 2 - 3p \equiv 0 \mod 4 \implies 3p \equiv 2 \mod 4 \]

Проверим, какие значения \( p \) (простые числа) дают \( 3p \equiv 2 \mod 4 \):

• Если \( p = 2 \), \( 3 \times 2 = 6 \equiv 2 \mod 4 \) - подходит.
• Если \( p = 3 \), \( 3 \times 3 = 9 \equiv 1 \mod 4 \) - не подходит.
• Если \( p = 5 \), \( 3 \times 5 = 15 \equiv 3 \mod 4 \) - не подходит.
• Если \( p = 7 \), \( 3 \times 7 = 21 \equiv 1 \mod 4 \) - не подходит.
• Если \( p = 11 \), \( 3 \times 11 = 33 \equiv 1 \mod 4 \) - не подходит.
• Если \( p = 13 \), \( 3 \times 13 = 39 \equiv 3 \mod 4 \) - не подходит.
• Если \( p = 17 \), \( 3 \times 17 = 51 \equiv 3 \mod 4 \) - не подходит и так далее.

Таким образом, единственным подходящим значением для \( (p,q) \):

1. Подставляем \( p = 2 \): \[ q = \frac{1450 - 7 \cdot 2}{4} = \frac{1450 - 14}{4} = \frac{1436}{4} = 359 \]

Таким образом, одно из решений – \( (p, q, r) = (2, 359, 11) \).

Проверим:

\[ 77 \cdot 2 + 44 \cdot 359 \stackrel{?}{=} 1450 \cdot 11 \] \[ 154 + 15896 = 1450 \cdot 11 = 15950 \] \[ 15950 = 15950 \quad \text{(равенство выполняется)} \]

Итак, решение уравнения в простых числах: \( p = 2, q = 359, r = 11 \).