Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Труд» играет три матча с разными командами. Найдите…

Для решения задачи воспользуемся основами теории вероятностей.

Пусть событие «Труд» выигрывает жребий в одном матче, и в этом случае вероятность выиграть жребий равна 0,5 (или \( \frac{1}{2} \)), так как возможны два исхода — «Труд» выигрывает или проигрывает. Вероятность того, что «Труд» не выиграет жребий, также равна \( \frac{1}{2} \).

Задача предполагает, что мы проводим 3 матча, и нас интересует вероятность того, что «Труд» выиграет жребий ровно 1 раз в этих 3 матчах.

Для вычисления этой вероятности мы можем использовать биномиальное распределение, где:

• \( n = 3 \) — общее количество испытаний (матчей),
• \( k = 1 \) — количество успехов (выигрышей жребия),
• \( p = \frac{1}{2} \) — вероятность выигрыша в одном испытании.

Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k} \]

Где \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Подставим значения в формулу:

\[ P(X = 1) = \binom{3}{1} \left(\frac{1}{2}\right)^1 \left(\frac{1}{2}\right)^{3-1} \]

Сначала вычислим биномиальный коэффициент \( \binom{3}{1} \):

\[ \binom{3}{1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \]

Теперь подставим это значение в формулу вероятности:

\[ P(X = 1) = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]

Таким образом, вероятность того, что команда «Труд» выиграет жребий ровно один раз в трех матчах, равна \( \frac{3}{8} \).