Часть программы тренировок Арсения заключается в беге на беговой дорожке. На первой тренировке необходимо бежать 15 минут, на каждой следующей время пробежки увеличивается на 7…

Арсений начинает с 15 минут бега и увеличивает время пробежки на 7 минут с каждой тренировкой. Время бега на n-й тренировке можно описать формулой:

\( T_n = 15 + (n - 1) \cdot 7 \)

Где \( T_n \) — время бега на n-й тренировке.

Общая сумма времени, проведенного на беговой дорожке, за n тренировок равна:

\[ S_n = T_1 + T_2 + ... + T_n = 15 + (15 + 7) + (15 + 2 \cdot 7) + ... + (15 + (n-1) \cdot 7) \]

Это — арифметическая прогрессия, где первое число \( a = 15 \), разница \( d = 7 \) и количество членов \( n \).

Сумма первых n членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n - 1) d) \]

Подставляем значения:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 15 + (n - 1) \cdot 7) = \frac{n}{2} \cdot (30 + 7n - 7) = \frac{n}{2} \cdot (7n + 23) \]

Теперь у нас есть общее время 2 часа 25 минут, или \( 145 \) минут (2 * 60 + 25).

Приравняем сумму к 145:

\[ \frac{n}{2} \cdot (7n + 23) = 145 \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ n(7n + 23) = 290 \]

Это уравнение можно переписать как:

\[ 7n^2 + 23n - 290 = 0 \]

Теперь воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставим в формулу \( a = 7, b = 23, c = -290 \):

\[ b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-290) = 529 + 8120 = 8649 \]

Теперь найдем корень:

\[ \sqrt{8649} = 93 \]

Теперь подставим значение в формулу для \( n \):

\[ n = \frac{-23 \pm 93}{2 \cdot 7} \]

Рассмотрим оба случая:

1. \( n = \frac{-23 + 93}{14} = \frac{70}{14} = 5 \)
2. \( n = \frac{-23 - 93}{14} \) (отрицательный корень не рассматриваем, так как количество тренировок не может быть отрицательным)

Таким образом, Арсений проведет 5 тренировок.