2. y" + 4y' + 3y = 0. 4. 2y" - 5y' + 2y = 0. 6. y" + 2y' + 10y = 0. 8. y"" - 8y = 0. 10. yIV + 4y = 0. 12. y" - 2y' + y = 0. 14. yV - 6yIV + 9y"" = 0. 17. y"" - 3y" + 3y' - y = 0. 18. y"" - y" - y' + y = 0. 20. yY + 8y"" + 16y' = 0. 22. yIV + 4y" + 3y = 0. 16. yIV + 2y" + y = 0. решить все уравнения по этому примеру с полным разбором Найти общее решение дифференциального уравнения. Составим характеристическое уравнение. Получим квадратное уравнение. Решим его. Характеристическое уравнение имеет два совнадающих действительных корня (ил один действительный корень кратности два), т.е. имеем второй случай в Таблице 1. В соответствии с приведенной таблицей общее решение исходного дифференциалы уравнения Сделаем проверку найденного общего решения. Для этого найдем первую и втор производные общего решения Подставим общее решение вместе с найденными производными в исходно уравнение. То есть = 0. Что и требовалось показать.

Question 1

Задача Задача №2375784

А

Аноним

29 ноября 2024 17:43 · публичный вопрос

А

Аноним 29 ноября 2024 17:43

2. y" + 4y' + 3y = 0. 4. 2y" - 5y' + 2y = 0. 6. y" + 2y' + 10y = 0. 8. y"" - 8y = 0. 10. yIV + 4y = 0. 12. y" - 2y' + y = 0. 14. yV - 6yIV + 9y"" = 0. 17. y"" - 3y" + 3y' - y = 0. 18. y"" - y" - y' + y = 0. 20. yY + 8y"" + 16y' = 0. 22. yIV + 4y" + 3y = 0. 16. yIV + 2y" + y = 0. решить все уравнения по этому примеру с полным разбором Найти общее решение дифференциального уравнения. Составим характеристическое уравнение. Получим квадратное уравнение. Решим его. Характеристическое уравнение имеет два совнадающих действительных корня (ил один действительный корень кратности два), т.е. имеем второй случай в Таблице 1. В соответствии с приведенной таблицей общее решение исходного дифференциалы уравнения Сделаем проверку найденного общего решения. Для этого найдем первую и втор производные общего решения Подставим общее решение вместе с найденными производными в исходно уравнение. То есть = 0. Что и требовалось показать.

Answer

Давайте подробно разберем каждое дифференциальное уравнение и найдем общее решение с помощью характерного уравнения.

1. y'' + 4y' + 3y = 0

Шаг 1: Составим характеристическое уравнение: \[ r^2 + 4r + 3 = 0 \]

Шаг 2: Решим его с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \] Так как D > 0, у нас два различных корня: \[ r_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \] \[ r_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \]

Шаг 3: Общее решение: \[ y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-3t} \]

Шаг 4: Проверка: Найдем первые и вторые производные и подставим их в уравнение.

2. 2y'' - 5y' + 2y = 0

Шаг 1: Характеристическое уравнение: \[ 2r^2 - 5r + 2 = 0 \]

Шаг 2: Решение: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \] Корни: \[ r_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2, \quad r_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} \]

Шаг 3: Общее решение: \[ y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{\frac{1}{2}t} \]

Шаг 4: Проверка.

3. y'' + 2y' + 10y = 0

Шаг 1: Характеристическое уравнение: \[ r^2 + 2r + 10 = 0 \]

Шаг 2: Решение: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36 \] Корни: \[ r_1, r_2 = -1 \pm 3i \]

Шаг 3: Общее решение: \[ y(t) = e^{-t}(C_1 \cos(3t) + C_2 \sin(3t)) \]

Шаг 4: Проверка.

4. y'' - 8y = 0

Шаг 1: Характеристическое уравнение: \[ r^2 - 8 = 0 \]

Шаг 2: Решение: \[ r = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \]

Шаг 3: Общее решение: \[ y(t) = C_1 e^{2\sqrt{2} t} + C_2 e^{-2\sqrt{2} t} \]

Шаг 4: Проверка.

5. y^{(4)} + 4y = 0

Шаг 1: Характеристическое уравнение: \[ r^4 + 4 = 0 \]

Шаг 2: Решение: Корни из формулы: \[ r = \pm \sqrt{2} i \] (появляются комплексные корни).

Шаг 3: Общее решение: \[ y(t) = C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t) \]

Шаг 4: Проверка.

6. y'' - 2y' + y = 0

Шаг 1: Характеристическое уравнение: \[ r^2 - 2r + 1 = 0 \]

Шаг 2: Решение: \[ D = 0 \rightarrow r = 1 \] (один корень с кратностью 2).

Шаг 3: Общее решение: \[ y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{t} \]

Шаг 4: Проверка.

7. y^{(5)} - 6y^{(4)} + 9y'' = 0

Шаг 1: Характеристическое уравнение: \[ r^5 - 6r^4 + 9r^2 = 0 \]

Шаг 2: Решение. Факторизация: \[ r^2(r^3 - 6r + 9) = 0 \] r = 0 - корень кратности 2.

Шаг 3: Решение кубического уравнения:

Решителя уравнения можно найти с помощью методов (например, делением, разложением на множители и т.д.).

Затем продолжим находить общие решения. Если у вас есть конкретные уравнения, которые вы хотите, чтобы я решил, дайте знать, и я с радостью помогу!

Question 2

2. y" + 4y' + 3y = 0. 4. 2y" - 5y' + 2y = 0. 6. y" + 2y' + 10y = 0. 8. y"" - 8y = 0. 10. yIV + 4y = 0. 12. y" - 2y' + y = 0. 14. yV - 6yIV + 9y"" = 0. 17. y"" - 3y" + 3y' - y = 0. 18. y"" - y" - y' + y = 0. 20. yY + 8y"" + 16y' = 0. 22. yIV + 4y" + 3y = 0. 16. yIV + 2y" + y = 0. решить все уравнения по этому примеру с полным разбором Найти общее решение дифференциального уравнения. Составим характеристическое уравнение. Получим квадратное уравнение. Решим его. Характеристическое уравнение имеет два совнадающих действительных корня (ил один действительный корень кратности два), т.е. имеем второй случай в Таблице 1. В соответствии с приведенной таблицей общее решение исходного дифференциалы уравнения Сделаем проверку найденного общего решения. Для этого найдем первую и втор производные общего решения Подставим общее решение вместе с найденными производными в исходно уравнение. То есть = 0. Что и требовалось показать.

Answer

Давайте подробно разберем каждое дифференциальное уравнение и найдем общее решение с помощью характерного уравнения. ### 1. y'' + 4y' + 3y = 0 **Шаг 1: Составим характеристическое уравнение:** \[ r^2 + 4r + 3 = 0 \] **Шаг 2: Решим его с помощью дискриминанта:** \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \] Так как D > 0, у нас два различных корня: \[ r_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \] \[ r_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \] **Шаг 3: Общее решение:** \[ y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-3t} \] **Шаг 4: Проверка:** Найдем первые и вторые производные и подставим их в уравнение. ### 2. 2y'' - 5y' + 2y = 0 **Шаг 1: Характеристическое уравнение:** \[ 2r^2 - 5r + 2 = 0 \] **Шаг 2: Решение:** \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \] Корни: \[ r_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2, \quad r_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} \] **Шаг 3: Общее решение:** \[ y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{\frac{1}{2}t} \] **Шаг 4: Проверка.** ### 3. y'' + 2y' + 10y = 0 **Шаг 1: Характеристическое уравнение:** \[ r^2 + 2r + 10 = 0 \] **Шаг 2: Решение:** \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36 \] Корни: \[ r_1, r_2 = -1 \pm 3i \] **Шаг 3: Общее решение:** \[ y(t) = e^{-t}(C_1 \cos(3t) + C_2 \sin(3t)) \] **Шаг 4: Проверка.** ### 4. y'' - 8y = 0 **Шаг 1: Характеристическое уравнение:** \[ r^2 - 8 = 0 \] **Шаг 2: Решение:** \[ r = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \] **Шаг 3: Общее решение:** \[ y(t) = C_1 e^{2\sqrt{2} t} + C_2 e^{-2\sqrt{2} t} \] **Шаг 4: Проверка.** ### 5. y^{(4)} + 4y = 0 **Шаг 1: Характеристическое уравнение:** \[ r^4 + 4 = 0 \] **Шаг 2: Решение:** Корни из формулы: \[ r = \pm \sqrt{2} i \] (появляются комплексные корни). **Шаг 3: Общее решение:** \[ y(t) = C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t) \] **Шаг 4: Проверка.** ### 6. y'' - 2y' + y = 0 **Шаг 1: Характеристическое уравнение:** \[ r^2 - 2r + 1 = 0 \] **Шаг 2: Решение:** \[ D = 0 \rightarrow r = 1 \] (один корень с кратностью 2). **Шаг 3: Общее решение:** \[ y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{t} \] **Шаг 4: Проверка.** ### 7. y^{(5)} - 6y^{(4)} + 9y'' = 0 **Шаг 1: Характеристическое уравнение:** \[ r^5 - 6r^4 + 9r^2 = 0 \] **Шаг 2: Решение. Факторизация:** \[ r^2(r^3 - 6r + 9) = 0 \] r = 0 - корень кратности 2. **Шаг 3: Решение кубического уравнения:** Решителя уравнения можно найти с помощью методов (например, делением, разложением на множители и т.д.). Затем продолжим находить общие решения. Если у вас есть конкретные уравнения, которые вы хотите, чтобы я решил, дайте знать, и я с радостью помогу!