Решить систему уравнения : х-5у=3 х²-2ху-у²=-1

Чтобы решить систему уравнений:

1. \( x - 5y = 3 \)
2. \( x^2 - 2xy - y^2 = -1 \)

Сначала мы выразим \( x \) через \( y \) из первого уравнения:

\[ x = 5y + 3 \]

Теперь подставим это значение \( x \) во второе уравнение:

\[ (5y + 3)^2 - 2(5y + 3)y - y^2 = -1 \]

Раскроем скобки:

1. \( (5y + 3)^2 = 25y^2 + 30y + 9 \)
2. \( -2(5y + 3)y = -10y^2 - 6y \)

Теперь подставим всё в уравнение:

\[ 25y^2 + 30y + 9 - 10y^2 - 6y - y^2 = -1 \]

Соберем подобные члены:

\[ (25y^2 - 10y^2 - y^2) + (30y - 6y) + 9 = -1 \]

Это дает:

\[ 14y^2 + 24y + 9 = -1 \]

Переносим -1 на левую сторону:

\[ 14y^2 + 24y + 10 = 0 \]

Теперь можно упростить уравнение, разделив все коэффициенты на 2:

\[ 7y^2 + 12y + 5 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 144 - 140 = 4 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения два различных корня:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 2}{14} = \frac{-10}{14} = -\frac{5}{7} \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 2}{14} = \frac{-14}{14} = -1 \]

Теперь, найдём соответствующие значения \( x \) для каждого найденного \( y \).

1. Для \( y_1 = -\frac{5}{7} \):

\[ x = 5\left(-\frac{5}{7}\right) + 3 = -\frac{25}{7} + \frac{21}{7} = -\frac{4}{7} \]

2. Для \( y_2 = -1 \):

\[ x = 5(-1) + 3 = -5 + 3 = -2 \]

Таким образом, получаем два решения системы:

1. \( \left(-\frac{4}{7}, -\frac{5}{7}\right) \)
2. \( (-2, -1) \)

Эти пары \( (x, y) \) являются решениями вашей системы уравнений!