Арсений коллекционирует модели автомобилей. В его коллекции 10 ретроавтомобилей и У современных автомобилей. Сколькими способами подросток может расставить все экспонаты коллекции…

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с того, что объединим все ретроавтомобили в одну группу. Поскольку для Арсения важно, чтобы все ретроавтомобили стояли рядом, мы можем рассматривать их как один "блок".

1. В нашей коллекции есть 10 ретроавтомобилей, которые мы рассматриваем как 1 единицу (блок).
2. Таким образом, у нас будет 1 блок ретроавтомобилей и 8 современных автомобилей, всего 9 единиц (1 блок + 8 современных автомобилей).

Теперь мы можем рассмотреть, сколько способов мы можем расставить эти 9 единиц. Количество способов расставить n объектов равно n!, где n — это количество объектов. В нашем случае, n = 9, следовательно:

\[ 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880. \]

3. Однако, внутри "блока" с ретроавтомобилями мы также можем переставлять сами ретроавтомобили между собой. Поскольку у нас 10 ретроавтомобилей, количество способов их перестановки равно 10!.

\[ 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3628800. \]

4. Теперь, чтобы найти общее количество способов расставить всю коллекцию с учетом того, что ретроавтомобили должны быть рядом, мы умножаем количество способов расставить 9 единиц на количество способов расставить ретроавтомобили в их блоке:

\[ 9! \times 10! = 362880 \times 3628800. \]

Выполнив умножение:

\[ 362880 \times 3628800 = 1316818944000. \]

Таким образом, Арсений может расставить все экспонаты своей коллекции на полке 1,316,818,944,000 способов.