Дело происходило в 1948 г. Пьеру было тогда ровно столько лет, сколько выражают последние две цифры года его рождения. Когда он об этом факте рассказал своему деду, тот удивил внука заявлением, что с его возрастом выходит то же самое. Пьер не поверил деду, но поразмыслив, убедился, что тот абсолютно прав. Сколько лет было деду и внуку вместе в 1950 году?

Обозначим год рождения Пьера как \( x \). Тогда в 1948 году Пьеру было \( 1948 - x \) лет. С учетом условия, последние две цифры года его рождения равны \( x \mod 100 \).

Запишем уравнение:

\[ 1948 - x = x \mod 100 \]

Пусть \( x = 1900 + y \), где \( y \) — последние две цифры года рождения (то есть \( 0 \leq y < 100 \)). Тогда возраст Пьера в 1948 году можно записать как:

\[ 1948 - (1900 + y) = 48 - y \]

Согласно условию, это должно быть равно \( y \):

\[ 48 - y = y \]

Решим это уравнение:

\[ 48 = 2y \implies y = 24 \]

Таким образом, год рождения Пьера:

\[ x = 1900 + 24 = 1924 \]

Теперь найдём возраст Пьера в 1948 году:

\[ 1948 - 1924 = 24 \text{ года} \]

Теперь разберёмся с возрастом деда. Пусть год рождения деда — \( z \). Тогда в 1948 году деду было \( 1948 - z \) лет. По аналогии с Пьером, у деда также выполняется условие:

\[ 1948 - z = z \mod 100 \]

Если \( z = 1900 + w \), где \( w \) — последние две цифры года рождения деда, получаем:

\[ 1948 - (1900 + w) = 48 - w \]

А условие:

\[ 48 - w = w \]

Решаем:

\[ 48 = 2w \implies w = 24 \]

Значит год рождения деда:

\[ z = 1900 + 24 = 1924 \]

Таким образом, дед на самом деле родился в 1924 году, что абсолютно невозможно. Значит, дед родился значительно раньше, принимая в расчет другие последние две цифры.

Давайте попробуем еще раз.

Пусть год рождения деда \( z = 18xx \). В 1948 году его возраст будет равен:

\[ 1948 - z = 1948 - (1800 + a) \]

Теперь запишем уравнения:

1. Для Пьера: \( 1948 - x = 24 \)
2. Для деда: \( 1948 - z = 48 - b\)

Существует несколько вариантов.

Пусть дед старше, скажем, на 48 лет. Тогда:

Дед должен быть за 48 лет до 1948 года:

Тогда, если деду 72, получается \( 1800 + 72 = 1876 \)

В 1950 году Пьеру будет 26, а деду 74.

Теперь:

В 1950 году:

Пьеру: 26 лет

Деду: 74 года

Таким образом, всего им будет 100 лет вместе.