Первыми двумя словами Вовочки были «мама» и «папа». С того дня, когда он их произнес, он начал учить слова, причем каждый день выучивал одинаковое количество разных слов. К концу своего дня рождения Вовочка выучил уже 1000 новых слов (помимо первых двух, упомянутых выше). Известно, что в начале первого дня того же месяца он знал 822 слова, а к концу последнего дня этого месяца — 1102 слова. Какого числа и в каком месяце у Вовочки день рождения? Ответ обоснуйте.

Чтобы решить эту задачу, давайте проанализируем информацию, которая дана.

1. Словарный запас Вовочки:

   • В начале месяца: 822 слова.
   • К концу месяца: 1102 слова.
   • Количество новых слов, выученных к концу дня рождения: 1000 слов.

2. Выводим количество слов в конце месяца: Вовочка начал с 822 слов и выучил 1000 новых слов, значит, к концу своего дня рождения у него стало: \[ 822 + 1000 = 1822\text{ слова.} \]

3. Определяем общее количество дней в месяце: Мы знаем, что в конце месяца у Вовочки 1102 слова. Это значит, что после прибавления новых слов у него должно быть 1102 слова. Таким образом, мы можем найти, сколько новых слов он выучил в оставшиеся дни месяца.

   Если в конце дня рождения у него 1822 слова, но к концу месяца 1102 слова, значит, он выучил только: \[ 1102 - 822 = 280\text{ слов.} \] Заметим, что это противоречит данному условию, так как 1000 слов были выучены только до дня рождения. Таким образом, на день рождения у него 1822 слова. Это значит, что после дня рождения он должен выучить ещё: \[ 1102 - 1822 = -720 \text{ слов,} \] что невозможно. Переходим к подсчету дней в месяце по-другому.

4. Определим количество дней в месяце: Пусть день рождения Вовочки — это \( x \)-й день месяца. Он учит слова ежедневно, и если предположим, что он учил одинаковое количество слов \( y \) до своего дня рождения, то высказываем следующее уравнение:

   Количество новых слов, выученных к дню рождения: \[ (x-1) \cdot y = 1000. \]

   После дня рождения он изучает ещё: \[ (31 - x) \cdot y \text{ слов (если 31 - количество дней в месяце).} \] К концу месяца он должен иметь 1102 слова, следовательно: \[ 822 + (x-1) \cdot y + (31 - x) \cdot y = 1102. \] У简化: \[ 822 + 30y = 1102, \] \[ 30y = 1102 - 822 = 280, \] \[ y = \frac{280}{30} \approx 9.33. \]

Таким образом, \( x-1 \) (число дней до дня рождения), должен быть соразмерно объяснен. Ставя \( y = 10 \) в первое уравнение: \[ (x-1) \cdot 10 = 1000 \rightarrow x-1 = 100 \rightarrow x = 101. \]

Так как число дней не может превышать 31, значит, мы определили, что это невозможно. Однако предполагаем, что Вовочка мог учить слова меньше, применяем другой подход.

Вернемся к определению, допустим у нас 30-й день — это его день рождения, поэтому: \[ 30 - 1 = 29 \rightarrow 29 \cdot y = 1000 \rightarrow y \approx 34.5, \] что также не подходит.

Кажется, что 28-й день соответствовал бы: Таким образом, день рождения Вовочки — 28 февраля.

Ответ:

День рождения Вовочки — 28 февраля.