На рисунке изображён прямоугольник ABCD. Точки K, L, M, N - середины его сторон. Найди вероятность, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать…

Для решения этой задачи сначала необходимо понять, какой именно четырехугольник образуется внутри прямоугольника ABCD и каковы его стороны и вершины.

Пусть прямоугольник ABCD имеет следующие координаты:

• A(0, 0)
• B(a, 0)
• C(a, b)
• D(0, b)

Точки K, L, M, N - середины сторон прямоугольника:

• K - середина стороны AB, K(a/2, 0)
• L - середина стороны BC, L(a, b/2)
• M - середина стороны CD, M(a/2, b)
• N - середина стороны DA, N(0, b/2)

Теперь найдем координаты вершин четырехугольника AМСК:

• A(0, 0)
• M(a/2, b)
• S(a/2, 0)
• K(0, b/2)

Теперь нам нужно найти площадь четырехугольника AМСК.

Для нахождения площади четырехугольника можно применить формулу площади многоугольника, заданного координатами вершин: \[ P = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| \] где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4) - координаты вершин четырехугольника.

Подставим координаты:

• A(0, 0)
• M(a/2, b)
• S(a/2, 0)
• K(0, b/2)

Подставляем в формулу: \[ P = \frac{1}{2} \left| 0\cdot b + \frac{a}{2}\cdot 0 + \frac{a}{2}\cdot \frac{b}{2} + 0\cdot 0 - (0\cdot \frac{a}{2} + b\cdot \frac{a}{2} + 0\cdot 0 + \frac{b}{2}\cdot 0) \right| \]

Упрощаем: \[ = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 + \frac{ab}{4} + 0 - \left( 0 + \frac{ab}{2} + 0 + 0 \right) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{4} - \frac{ab}{2} \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{4} - \frac{2ab}{4} \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -\frac{ab}{4} \right| \] \[ = \frac{ab}{8} \]

Теперь найдем площадь всего прямоугольника ABCD: \[ S_{ABCD} = a \cdot b \]

Теперь найдем вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырехугольнику AМСК: \[ P = \frac{S_{AМСК}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{8}}{ab} = \frac{1}{8} \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырехугольнику AМСК, равна \( \frac{1}{8} \).