В треугольнике ABC известны длины двух сторон AB = π, BC = cos 30◦, а длина стороны AC является целым числом. Найдите AC. Выберите верное утверждение. 1) Единственное возможное значение длины стороны AC равно 3. 2) Единственное возможное значение длины стороны AC равно 4. 3) Длина стороны AC может быть равна 3

Для решения этой задачи воспользуемся неравенством треугольника. Согласно этому неравенству, для треугольника ABC с длинами сторон AB, BC и AC должны выполняться следующие условия:

1. \(AB + BC > AC\)
2. \(AB + AC > BC\)
3. \(AC + BC > AB\)

В нашем случае известны длины сторон:

• \(AB = \pi\)
• \(BC = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Давайте обозначим длину стороны AC как \(x\), где \(x\) – целое число. Теперь применим условия неравенств треугольника.

1. \( \pi + \frac{\sqrt{3}}{2} > x \)
   Это неравенство можно записать как \( x < \pi + \frac{\sqrt{3}}{2} \).

2. \( \pi + x > \frac{\sqrt{3}}{2} \)
   Это неравенство всегда выполняется для положительных \(x\), так как \( \pi > \frac{\sqrt{3}}{2} \).

3. \( x + \frac{\sqrt{3}}{2} > \pi \)
   Это неравенство можно записать как \( x > \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Теперь найдем численные значения:

• Приблизительно, \( \pi \approx 3.14 \).
• И \( \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \).

Подставив, мы получаем:

1. \( x < 3.14 + 0.866 \approx 4.006 \), значит \( x \leq 4 \).
2. \( x > 3.14 - 0.866 \approx 2.274 \), значит \( x \geq 3 \).

Таким образом, значение \(x\) может быть равно 3 или 4. Теперь проверим утверждения:

1. Единственное возможное значение длины стороны AC равно 3. (Это верно, но не единственное.)
2. Единственное возможное значение длины стороны AC равно 4. (Это верно, но не единственное.)
3. Длина стороны AC может быть равна 3. (Это верное утверждение.)

С учётом данного анализа, правильный ответ: 3. Длина стороны AC может быть равна 3.