Женя решил вести активный образ жизни и бегать на стадионе. Перед пробежкой он берет с собой флажки, которые расставляет во время пробежки вдоль беговой дорожки. Первый флажок соответствует началу дорожки, этот флажок Вася устанавливает всегда устанавливает на старте. Длина одного круга стадиона 588 метров. Вася сначала расставил 33 флажка на расстоянии 33 метра друг от друга, затем развернулся, побежал в обратном направлении, расставил еще 51 флажок через каждый 21 метр. Сколько получится точек вдоль беговой дорожки, в которых установлено больше одного флажка?

Для решения задачи начнем с определения местоположения каждого флажка, расставленного Женей на беговой дорожке.

1. Первый набор флажков: Женя расставил 33 флажка на расстоянии 33 метра друг от друга. Первый флажок находится на старте (0 метров), а остальные флажки будут находиться на следующих позициях:

   • 0 м, 33 м, 66 м, ..., 33 * 32 м (последний флажок на 1056 метрах).

   Так как длина беговой дорожки составляет 588 метров, примем в расчет, что позиции выше 588 метров будут "обернуты" по кругу. То есть:

   • 0 м, 33 м, 66 м, ..., 588 м по модулю 588:
     • 0 м (флажок 1)
     • 33 м (флажок 2)
     • 66 м (флажок 3)
     • ...
     • 525 м (флажок 18)
     • 558 м (флажок 19, эквивалентна 558 - 588 = -30, становится 558)
     • 591 м (флажок 20, эквивалентен 591 - 588 = 3 м, становится 3)
     • ...
     • 1056 м эквивалентно 1056 - 588*1 = 468 м. (флажок 33)

   Записываем уникальные позиции флажков от 0 до 588 м:

   • 0, 33, 66, 99, 132, 165, 198, 231, 264, 297, 330, 363, 396, 429, 462, 495, 528, 561, 594, 3, 36, 69, 102, 135, 168, 201, 234, 267, 300, 333, 366, 399, 432, 465, 498, 531, 564, 597, 468.

2. Второй набор флажков: Затем Женя развернулся и расставил 51 флажок на расстоянии 21 метр друг от друга. Первый флажок будет на 0 (старт), а остальные на следующих позициях:

   • 0 м, 21 м, 42 м, ..., 21 * 50 м (последний флажок на 1050 метрах).

   Учитывая длину дорожки 588 метров, находить позиции тоже нужно по модулю 588:

   • 0, 21, 42, ..., 21 * 50:
     • 0 м (флажок 1)
     • 21 м (флажок 2)
     • 42 м (флажок 3)
     • ...
     • 588 м (флажок 28, эквивалентен 588 - 588 = 0, становится 0).

   Позиции:

   • 0, 21, 42, 63, 84, 105, 126, 147, 168, 189, 210, 231, 252, 273, 294, 315, 336, 357, 378, 399, 420, 441, 462, 483, 504, 525, 546, 567, 588, 21.

Теперь, чтобы выяснить сколько уникальных точек есть на дорожке, где установлено более одного флажка, составим объединение двух наборов позиций и найдем повторения:

• Первый набор: 0, 33, 66, ..., 468.
• Второй набор: 0, 21, 42, ..., 588.

Находим пересечения:

• 0 (0 флажков из первого набора)
• 21 (1 флажок из второго набора)
• 33 (1 флажок из первого набора)
• 42 (1 флажок из второго набора)
• 63, ..., 468.

Складывая, мы видим, что флажки встречаются в положении 0 м (первый флажок из каждого набора). Все остальные флажки отдельные (т.е. заняты только одним флажком).

Итак, единственной точкой, где установлено больше одного флажка в вдоль беговой дорожки, является 0 м.

Таким образом, ответ: 1.