Сколько целых значений k при которых прямая y =kx не пересекает параболы y=x²+40x+500 u y=x²-10x+47

Question 1

Задача Задача №2376587

А

Аноним

30 ноября 2024 03:12 · публичный вопрос

А

Аноним 30 ноября 2024 03:12

Сколько целых значений k при которых прямая y =kx не пересекает параболы y=x²+40x+500 u y=x²-10x+47

Answer

Чтобы определить, сколько целых значений \( k \) существует при которых прямая \( y = kx \) не пересекает параболы \( y = x^2 + 40x + 500 \) и \( y = x^2 - 10x + 47 \), нужно исследовать условия, при которых уравнения не имеют общих решений.

Для параболы \( y = x^2 + 40x + 500 \):

Подставим \( y = kx \) в уравнение параболы: \[ kx = x^2 + 40x + 500 \] Преобразуем это уравнение: \[ x^2 + (40 - k)x + 500 = 0 \]

Чтобы прямая не пересекалась с параболой, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть меньше нуля: \[ D_1 = (40 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 500 < 0 \] Упростим дискриминант: \[ (40 - k)^2 < 2000 \] Теперь извлекаем квадратный корень: \[ -\sqrt{2000} < 40 - k < \sqrt{2000} \] Приблизительно: \[ |\sqrt{2000}| \approx 44.72 \] Таким образом, получаем два неравенства: \[ 40 - \sqrt{2000} < k < 40 + \sqrt{2000} \] Подставляем значение: \[ 40 - 44.72 < k < 40 + 44.72 \] \[ -4.72 < k < 84.72 \]

Это дает нам диапазон целых значений: \[ k \in \{-4, -3, -2, \ldots, 84\} \]

Всего целых значений от -4 до 84: \[ 84 - (-4) + 1 = 89 \]
Для параболы \( y = x^2 - 10x + 47 \):

Подставим \( y = kx \) сюда: \[ kx = x^2 - 10x + 47 \] Преобразуем: \[ x^2 + (-10 - k)x + 47 = 0 \]

Здесь также требуется, чтобы дискриминант был меньше нуля: \[ D_2 = (-10 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 47 < 0 \] Упростим дискриминант: \[ (k + 10)^2 < 188 \] Извлекаем квадратный корень: \[ -\sqrt{188} < k + 10 < \sqrt{188} \] Приблизительно: \[ |\sqrt{188}| \approx 13.71 \] Получаем два неравенства: \[ -13.71 - 10 < k < 13.71 - 10 \] Это дает: \[ -23.71 < k < 3.71 \]

Таким образом, целые значения \( k \) в диапазоне: \[ k \in \{-23, -22, \ldots, 3\} \]

Всего целых значений от -23 до 3: \[ 3 - (-23) + 1 = 27 \]

Теперь, чтобы найти общий диапазон целых значений \( k \), которые соответствуют обоим условиям, нужно пересечь диапазоны:

Первый диапазон: от -4 до 84 (89 целых значений)
Второй диапазон: от -23 до 3 (27 целых значений)

Общий диапазон целых значений \( k \) будет от -4 до 3. Это: \[ k \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} \]

Общее количество решений: \[ 3 - (-4) + 1 = 8 \]

Таким образом, количество целых значений \( k \), при которых прямая \( y = kx \) не пересекает обе параболы, составляет 8.

Question 2

сколько целых значений k при которых прямая y =kx не пересекает параболы y=x²+40x+500 u y=x²-10x+47

Answer

Чтобы определить, сколько целых значений \( k \) существует при которых прямая \( y = kx \) не пересекает параболы \( y = x^2 + 40x + 500 \) и \( y = x^2 - 10x + 47 \), нужно исследовать условия, при которых уравнения не имеют общих решений. 1. **Для параболы \( y = x^2 + 40x + 500 \):** Подставим \( y = kx \) в уравнение параболы: \[ kx = x^2 + 40x + 500 \] Преобразуем это уравнение: \[ x^2 + (40 - k)x + 500 = 0 \] Чтобы прямая не пересекалась с параболой, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть меньше нуля: \[ D_1 = (40 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 500 < 0 \] Упростим дискриминант: \[ (40 - k)^2 < 2000 \] Теперь извлекаем квадратный корень: \[ -\sqrt{2000} < 40 - k < \sqrt{2000} \] Приблизительно: \[ |\sqrt{2000}| \approx 44.72 \] Таким образом, получаем два неравенства: \[ 40 - \sqrt{2000} < k < 40 + \sqrt{2000} \] Подставляем значение: \[ 40 - 44.72 < k < 40 + 44.72 \] \[ -4.72 < k < 84.72 \] Это дает нам диапазон целых значений: \[ k \in \{-4, -3, -2, \ldots, 84\} \] Всего целых значений от -4 до 84: \[ 84 - (-4) + 1 = 89 \] 2. **Для параболы \( y = x^2 - 10x + 47 \):** Подставим \( y = kx \) сюда: \[ kx = x^2 - 10x + 47 \] Преобразуем: \[ x^2 + (-10 - k)x + 47 = 0 \] Здесь также требуется, чтобы дискриминант был меньше нуля: \[ D_2 = (-10 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 47 < 0 \] Упростим дискриминант: \[ (k + 10)^2 < 188 \] Извлекаем квадратный корень: \[ -\sqrt{188} < k + 10 < \sqrt{188} \] Приблизительно: \[ |\sqrt{188}| \approx 13.71 \] Получаем два неравенства: \[ -13.71 - 10 < k < 13.71 - 10 \] Это дает: \[ -23.71 < k < 3.71 \] Таким образом, целые значения \( k \) в диапазоне: \[ k \in \{-23, -22, \ldots, 3\} \] Всего целых значений от -23 до 3: \[ 3 - (-23) + 1 = 27 \] Теперь, чтобы найти общий диапазон целых значений \( k \), которые соответствуют обоим условиям, нужно пересечь диапазоны: - Первый диапазон: от -4 до 84 (89 целых значений) - Второй диапазон: от -23 до 3 (27 целых значений) Общий диапазон целых значений \( k \) будет от -4 до 3. Это: \[ k \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} \] Общее количество решений: \[ 3 - (-4) + 1 = 8 \] Таким образом, количество целых значений \( k \), при которых прямая \( y = kx \) не пересекает обе параболы, составляет 8.