Для целых чисел a, b, и c верно равенства a+2b =3b+4c=5c+6a. Найдите наименьшее положительное значение суммы a+b+c
Давайте рассмотрим данное равенство более подробно.
У нас есть три равенства:
- \( a + 2b = 3b + 4c \).
- \( 3b + 4c = 5c + 6a \).
- \( 5c + 6a = a + 2b \).
Мы можем выразить одну переменную через другую, используя эти равенства. Начнем с первого равенства:
Из равенства \( a + 2b = 3b + 4c \) можем выразить \( a \):
\[ a = 3b + 4c - 2b = b + 4c. \]
Теперь подставим это значение \( a \) во второе равенство \( 3b + 4c = 5c + 6a \):
\[ 3b + 4c = 5c + 6(b + 4c), \] \[ 3b + 4c = 5c + 6b + 24c, \] \[ 3b + 4c = 5c + 6b + 24c, \] \[ 3b + 4c = 5c + 6b + 24c \to 3b + 4c - 5c - 6b - 24c = 0 \to -3b - 25c = 0, \] \[ 3b = -25c. \]
Разделим на 3:
\[ b = -\frac{25}{3}c. \]
Теперь, подставим \( b \) в выражение для \( a \):
\[ a = b + 4c = -\frac{25}{3}c + 4c = -\frac{25}{3}c + \frac{12}{3}c = -\frac{13}{3}c. \]
Теперь у нас есть:
- \( a = -\frac{13}{3}c \)
- \( b = -\frac{25}{3}c \)
Теперь найдём сумму:
\[ a + b + c = -\frac{13}{3}c - \frac{25}{3}c + c = -\frac{13 + 25 - 3}{3}c = -\frac{35}{3}c. \]
Чтобы это выражение было положительным, \( c \) должно быть отрицательным, так как \( -\frac{35}{3} < 0 \).
Возьмём \( c = -3 \) (это наименьшее целое отрицательное значение):
Тогда
\[ a = -\frac{13}{3}(-3) = 13, \] \[ b = -\frac{25}{3}(-3) = 25, \] \[ c = -3. \]
Теперь считаем сумму:
\[ a + b + c = 13 + 25 - 3 = 35. \]
Таким образом, наименьшее положительное значение суммы \( a + b + c \) равно \( 35 \).
