Флажки расставляются вдоль беговой дорожки. Первый соответствует началу. Длина одного круга 462 метра. Вася расставил 26 флажков на расстоянии 35 метров, затем пожелал в обратном направлении и расставил ещё 43 флажка на расстоянии 14 метров друг от друга. Сколько получилось точек вдоль беговой дорожки, в которых установлено больше одного флажка?

Для решения данной задачи давайте детально разберемся с установкой флажков.

1. Первый набор флажков: Вася расставил 26 флажков на расстоянии 35 метров друг от друга, начиная с начала дорожки. Находим координаты этих флажков:

   • Первый флажок находится в точке 0 метров (начало).
   • Второй флажок в точке 35 метров.
   • Третий флажок в точке 70 метров.
   • И так далее, до 26 флажков.

   Сначала мы можем найти, где будет располагаться 26-й флажок: \[ \text{Координаты флажков} = 0, 35, 70, ..., 35 \times (26-1) = 35 \times 25 = 875 \text{ метров}. \]

   Однако длина круговой дорожки 462 метра, следовательно, если флажок выходит за эту длину, то мы должны использовать знак модуля: \[ \text{Координаты с учётом круга} = (35 \times i) \mod 462, \quad i = 0, 1, 2, ..., 25. \]

   После расчета мы получаем следующие положения флажков, находясь внутри одного круга:

   • Это дает нам следующие координаты (в метрах): 0, 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245, 280, 315, 350, 385, 420, 455, 7, 42, 77, 112, 147, 182, 217, 252, 287, 322, 357, 392, 427, 462.

   Мы можем заметить, что 0 и 462 метров являются одной и той же точкой.

2. Второй набор флажков: Теперь Вася расставил 43 флажка на расстоянии 14 метров друг от друга, начав с точки, соответствующей последнему флажку. Этот флажок размещен на 0 метров, так как 462 метров — это ровно первая точка круга (принимаем, что он развернулся и начал другую низку флажков в обратном направлении).

   Для второго набора, координаты флажков: \[ \text{Координаты флажков} = 0, 14, 28, ..., 14 \times (43-1) = 14 \times 42 = 588 \text{ метров}. \]

   Учитывая длину круговой дорожки, мы также применим модуль: \[ \text{Координаты} = (14 \times j) \mod 462, \quad j = 0, 1, 2, ..., 42. \]

   То есть после применения модуля мы получим следующие уникальные координаты флажков в пределах круга (каждый 14 метров):

   • Значения будут: 0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, 154, 168, 182, 196, 210, 224, 238, 252, 266, 280, 294, 308, 322, 336, 350, 364, 378, 392, 406, 420, 434, 448, 462, 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112 и так далее.

   Теперь необходимо выявить, в каких точках установлено более одного флажка. Оба ряда имеют флажки в следующих точках: 0, 112, 140, 182, 252, 280, 322, 350, 392, 420.

   Перечислим уникальные точки, где установлены флажки и которые перекрываются:

   • 0 (обе серии),
   • 112 (вторая серия),
   • 140 (первая серия),
   • 182 (первая серия),
   • 252,
   • 280,
   • 322,
   • 350,
   • 392 и

Таким образом, мы имеем 10 уникальных точек вдоль беговой дорожки, в которых установлено более одного флажка. Ответ: 10 точек.