Для целых чисел a, b, и c верно равенства a+3b =4b+6c=3c+6a. Найдите наименьшее положительное значение суммы a+b+c
Давайте рассмотрим равенства, которые даны:
- \( a + 3b = 4b + 6c \)
- \( 4b + 6c = 3c + 6a \)
- \( 3c + 6a = a + 3b \)
Наша цель – найти наименьшее положительное значение суммы \( a + b + c \).
Сначала упростим эти равенства.
Из первого равенства \( a + 3b = 4b + 6c \) можем выразить \( a \): \[ a = 4b + 6c - 3b \] \[ a = b + 6c \quad \text{(1)} \]
Теперь рассмотрим второе равенство \( 4b + 6c = 3c + 6a \): Подставляя \( a \) из (1): \[ 4b + 6c = 3c + 6(b + 6c) \] \[ 4b + 6c = 3c + 6b + 36c \] \[ 4b + 6c = 6b + 39c \] Теперь приравняем: \[ 4b - 6b = 39c - 6c \] \[ -2b = 33c \] \[ b = -\frac{33}{2}c \quad \text{(2)} \]
Теперь подставим (2) в (1): \[ a = -\frac{33}{2}c + 6c \] Запишем \( 6c \) как \( \frac{12}{2}c \): \[ a = -\frac{33}{2}c + \frac{12}{2}c \] \[ a = -\frac{21}{2}c \quad \text{(3)} \]
Теперь мы можем выразить сумму \( a + b + c \): \[ a + b + c = -\frac{21}{2}c - \frac{33}{2}c + c \] Сложим: \[ = -\frac{21}{2}c - \frac{33}{2}c + \frac{2}{2}c = -\frac{52}{2}c + \frac{2}{2}c = -\frac{50}{2}c = -25c \]
Чтобы сумма \( a + b + c \) была положительной, \( c \) должно быть отрицательным. Пусть \( c = -1 \): \[ a + b + c = -25 \cdot (-1) = 25 \]
Проверим значения \( a \) и \( b \): Подставляем \( c = -1 \) в (2) и (3): \[ b = -\frac{33}{2}(-1) = \frac{33}{2} \] \[ a = -\frac{21}{2}(-1) = \frac{21}{2} \]
Таким образом, у нас есть: \[ a = \frac{21}{2}, \quad b = \frac{33}{2}, \quad c = -1 \] Но так как \( a \) и \( b \) не являются целыми, попробуем другие отрицательные значения для \( c \).
Попробуем \( c = -2 \): \[ a + b + c = -25 \cdot (-2) = 50 \] Теперь проверим \( a \) и \( b \): \[ b = -\frac{33}{2}(-2) = 33 \] \[ a = -\frac{21}{2}(-2) = 21 \]
Получаем: \[ a = 21, \quad b = 33, \quad c = -2 \] Сумма \( 21 + 33 - 2 = 52 \) и так далее.
Таким образом, пробуя целые, мы можем определить их. Наименьшее положительное значение суммы \( a + b + c = 25 \).
Итак, наименьшее положительное значение суммы \( a + b + c \) равно \( 25 \).
