367) (ЕГЭ-2023) Все шестибуквенные слова, составленные из букв М, А, Н, Г, У, С, Т, записаны алфавитном порядке и пронумерованы. Начало списка выглядиттак: в 1. AAAAAA 2. АААААГ 3. AAAAAM 4. AAAAAH 5. AAAAAC 6. AAAAAT Под каким номером в списке стоит последнее слово, которое не начинается с буквы У, содержит только две буквы М и не более одной буквы Г?

Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа условий:

1. Слово состоит из 6 букв, составленных из набора: М, А, Н, Г, У, С, Т.
2. Слово должно начинаться не с буквы У.
3. Слово должно содержать только две буквы М.
4. Слово не должно содержать более одной буквы Г.

Построение слов

Принимая во внимание условия, мы можем сначала зафиксировать две буквы М и решить, как распределить остальные буквы.

Количество оставшихся букв

Имеем 6 букв. После фиксирования двух М, у нас остается 4 позиции. В этих позициях мы можем использовать:

• 0 или 1 Г
• Другие буквы: А, Н, У, С, Т (не более 4 штук в зависимости от того, сколько Г используется).

Рассмотрим два случая: когда Г не используется и когда используется 1 Г.

Случай 1: Г не используется

В этом случае нам нужно заполнить оставшиеся 4 позиции любыми буквами из {А, Н, У, С, Т}. Количество разрешенных букв – 5. Нам нужно выбрать 4 буквы, причем каждую букву можно использовать не более одного раза.

Для первой позиции (выбор 4 из 5): Буквы могут быть выбраны в количестве сочетаний:
C(5,4) = 5 (все возможные комбинации из 5 букв по 4).

Поскольку порядок букв важен, для каждой комбинации у нас будет 4! (факториал 4 = 24) перестановок.

Таким образом, общее количество слов в этом случае: \[ 5 \times 24 = 120 \]

Случай 2: Г используется 1 раз

Теперь у нас 1 Г и нужно выбрать 3 буквы из оставшихся {А, Н, У, С, Т}.

Количество возможных комбинаций: C(5,3) = 10.

Для каждой комбинации у нас будет 4! перестановок, так как 4 буквы (2 М, 1 Г и 1 выбранная буква) могут взаимно сочетаться.

Общее количество слов: \[ 10 \times 4! = 10 \times 24 = 240 \]

Подсчет слов

Теперь суммируем количество слов из обоих случаев:

• Слов без Г: 120
• Слов с 1 Г: 240

Общее количество слов, начинающихся не с буквы У, содержащих две М и не более одной Г = 120 + 240 = 360.

Нахождение позиции последнего слова

Поскольку нас интересует последнее слово, начинающееся не с буквы У и удовлетворяющее условиям, нужно найти позицию последнего слова с двумя М и (максимально) одной Г.

Позиции будут перечислены в алфавитном порядке. Последнее слово среди 360, начинающее не с У, будет на позиции 360.

Ответ: 360.