Задача 3. (8 баллов) На отрезок сверху ставят вплотную 10 квадратов со сторонами 1, 2, 3, .... 10 в каком-то порядке. Пример такой фигуры приведен на рисунке 2. Из набора убрали квадрат со стороной 5 и составили такую же фигуру наибольшего возможного периметра. Чему равен этот периметр?

Для решения этой задачи сначала давайте определим подход к определению периметра фигуры, состоящей из квадратов, расположенных в ряд.

Исходно у нас есть 10 квадратов со сторонами 1, 2, 3, ..., 10. Периметр полной фигуры можно вычислить как сумму длин всех сторон квадратов с учетом того, что квадратные фигуры могут перекрывать друг друга.

Периметр одного квадрата со стороной \( a \) равен \( 4a \). Однако, когда квадраты ставятся подряд, внутренние стороны не учитываются в общем периметре, так как они не видны снаружи.

Подсчитаем периметр для 10 квадратов, если все они будут стоять в ряд. При этом добавим ширину каждого квадрата (размеры от 1 до 10) для левой и правой сторон фигуры, а также учтем общую высоту (она будет равна максимальной стороне, то есть 10).

Сначала, если все квадраты в порядке от 1 до 10, то:

• Периметр сверху и снизу составит: \( 2 \times (1 + 2 + 3 + ... + 10) = 2 \times 55 = 110 \).
• Высота будет 10 (так как самый большой квадрат - со стороной 10).

Теперь подсчитаем: \[ P = 2 \times (сумма сторон) + 2 \times (высота) = 110 + 20 = 130. \]

Теперь уберем квадрат со стороной 5. Это значит, что у нас останутся квадраты со сторонами 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 и 10.

Теперь снова посчитаем периметр, но по-другому. У нас теперь 9 квадратов и максимальная высота всё равно остается 10 (так как квадрат 10 остался).

Снова подсчитаем периметр для оставшихся квадратов:

• Сумма сторон: \( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 50 \).
• Периметр: \( 2 \times (сумма сторон) + 2 \times (высота) = 100 + 20 = 120 \).

Таким образом, наибольший возможный периметр фигуры, составленной из оставшихся квадратов, равен 120.

Ответ: 120.