Докажите, что (x - 6)/(x + 4) > 0 и (x - 6)(x + 4) > 0 равносильны. 7. Решите неравенство: a (x - 3)/(x + 7) < 0 6) (x + 8)/(x - 11) > 0 B) (5x + 14)/(x - 8) <= 0 г) (11x - 297)/(31x) >= 0
Чтобы доказать, что неравенства \(\frac{x - 6}{x + 4} > 0\) и \((x - 6)(x + 4) > 0\) равносильны, рассмотрим каждое неравенство.
- Первое неравенство: \(\frac{x - 6}{x + 4} > 0\)
Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. То есть:
\(x - 6 > 0\) и \(x + 4 > 0\) (обе положительные), что приводит к:
- \(x > 6\)
- \(x > -4\) (но это не сильно ограничивает, так как \(x > 6\) уже это выполняет).
Или \(x - 6 < 0\) и \(x + 4 < 0\) (оба отрицательные), что дает:
- \(x < 6\)
- \(x < -4\) (в этом случае, \(x < -4\) является более строгим ограничением).
Таким образом, \(\frac{x - 6}{x + 4} > 0\) выполняется в интервалах:
- \(x < -4\) и \(x > 6\).
- Второе неравенство: \((x - 6)(x + 4) > 0\)
Здесь произведение двух скобок больше нуля, когда:
Оба множителя положительны: \(x - 6 > 0\) и \(x + 4 > 0\):
- Это приводит к \(x > 6\).
Или оба множителя отрицательные: \(x - 6 < 0\) и \(x + 4 < 0\):
- Это приводит к \(x < -4\).
Таким образом, \((x - 6)(x + 4) > 0\) также выполняется при \(x < -4\) или \(x > 6\).
Сравнив оба случая, мы видим, что \(\frac{x - 6}{x + 4} > 0\) и \((x - 6)(x + 4) > 0\) действительно равносильны.
Теперь перейдем к решению неравенств:
а) \(\frac{a (x - 3)}{(x + 7)} < 0\)
Анализируем знак дроби. Она будет меньше нуля, если:
- Числитель и знаменатель имеют разные знаки.
- Если \(a > 0\):
- \(x - 3 < 0\) и \(x + 7 > 0\): \(x < 3\) и \(x > -7\) → \(-7 < x < 3\).
- Или \(x - 3 > 0\) и \(x + 7 < 0\): \(x > 3\) и \(x < -7\) (нет решений в этом случае).
Таким образом, решение будет: \(-7 < x < 3\).
- Если \(a < 0\):
- \(x - 3 < 0\) и \(x + 7 < 0\): \(x < 3\) и \(x < -7\) → \(x < -7\).
- Или \(x - 3 > 0\) и \(x + 7 > 0\): \(x > 3\) и \(x > -7\) → \(x > 3\).
Таким образом, решение: \(x < -7\) или \(x > 3\) (два интервала).
6) \(\frac{x + 8}{x - 11} > 0\)
Здесь анализируем следующий случай:
- \(x + 8 > 0\) (то есть \(x > -8\)) и \(x - 11 > 0\) (то есть \(x > 11\)): это выполняется, когда \(x > 11\).
- \(x + 8 < 0\) (то есть \(x < -8\)) и \(x - 11 < 0\) (то есть \(x < 11\)): это выполняется при \(x < -8\).
Решение: \(x < -8\) и \(x > 11\).
B) \(\frac{5x + 14}{x - 8} \leq 0\)
Анализируем:
- \(5x + 14 = 0\) при \(x = -\frac{14}{5}\).
- \(x - 8 = 0\) при \(x = 8\).
Найдем знаки:
- Знак поменяется на границах \(x = -\frac{14}{5}\) и \(x = 8\).
- Проверяем интервалы:
- Для \(x < -\frac{14}{5}\) (например, \(x = -3\)): \(5(-3) + 14 < 0\), \(x - 8 < 0\) → положительная / отрицательная → отрицательно.
- Для \(-\frac{14}{5} < x < 8\) (например, \(x = 0\)): \(5(0) + 14 > 0\), \(0 - 8 < 0\) → положительная / отрицательная → отрицательно.
- Для \(x > 8\) (например, \(x = 9\)): оба положительные.
Таким образом, решение: \(-\frac{14}{5} \leq x < 8\).
г) \(\frac{11x - 297}{31x} \geq 0\)
Здесь нужно анализировать:
- \(11x - 297 = 0\) при \(x = \frac{297}{11} = 27\).
- \(31x = 0\) при \(x = 0\).
Проверяем знаки:
- Для \(x < 0\) (например, \(x = -1\)): количество отрицательных (значит, общее отрицательное).
- Для \(0 < x < 27\) (например, \(x = 1\)): \(11x - 297 < 0\), \(31x > 0\) → общее отрицательное.
- Для \(x > 27\) (например, \(x = 30\)): оба положительные.
Таким образом, решение: \(x \geq 27\) или \(x < 0\).
Если у вас есть еще вопросы по неравенствам или другим темам, пожалуйста, спрашивайте!
