Найдите область определения функции y = sqrt(x(x ^ 2 - 36)(x - 8)) .
Чтобы найти область определения функции \( y = \sqrt{x(x^2 - 36)(x - 8)} \), нам нужно определить, при каких значениях \( x \) подкоренное выражение неотрицательно, поскольку квадратный корень из отрицательных чисел не определён в действительных числах.
Функция имеет вид:
\[ x(x^2 - 36)(x - 8) \]
Рассмотрим каждое из множителей по отдельности:
Первый множитель: \( x \)
Он неотрицателен, когда \( x \geq 0 \).Второй множитель: \( x^2 - 36 \)
Это выражение равно нулю, когда \( x^2 = 36 \), что даёт \( x = 6 \) и \( x = -6 \).
Оно положительно, когда \( x < -6 \) или \( x > 6 \), и отрицательно на промежутке \( (-6, 6) \).Третий множитель: \( x - 8 \)
Это выражение неотрицательно, когда \( x \geq 8 \).
Теперь мы проанализируем, где произведение всех трёх множителей неотрицательно. Рассмотрим все критические точки:
- \( x = -6 \)
- \( x = 0 \)
- \( x = 6 \)
- \( x = 8 \)
Рассмотрим промежутки:
- Для \( x < -6 \): Один множитель (x) отрицателен, остальные два тоже (второй положителен). Произведение отрицательное.
- Для \( -6 < x < 0 \): \( x \) отрицателен, \( x^2 - 36 \) отрицателен, \( x - 8 \) отрицателен. Произведение положительное.
- Для \( 0 < x < 6 \): \( x \) положителен, \( x^2 - 36 \) отрицателен, \( x - 8 \) отрицателен. Произведение положительное.
- Для \( 6 < x < 8 \): \( x \) положителен, \( x^2 - 36 \) положителен, \( x - 8 \) отрицателен. Произведение отрицательное.
- Для \( x > 8 \): Все множители положительны. Произведение положительное.
Таким образом, область определения функции:
\[ [0, 6] \cup [8, +\infty) \]
Это означает, что функция определена в интервале от 0 до 6 включительно, а также для значений \( x \) больше или равных 8.
