Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 5% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 30% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 15% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Чтобы решить задачу, используем теорему Байеса о вероятностях.
Обозначим:
- \( A_1 \) — событие, что яйцо из первого хозяйства;
- \( A_2 \) — событие, что яйцо из второго хозяйства;
- \( B \) — событие, что яйцо высшей категории.
Из условия задачи известно:
- \( P(B | A_1) = 0.05 \) (вероятность того, что яйцо высшей категории, если оно из первого хозяйства);
- \( P(B | A_2) = 0.30 \) (вероятность того, что яйцо высшей категории, если оно из второго хозяйства);
- \( P(B) = 0.15 \) (общая вероятность того, что яйцо высшей категории).
Также предположим, что агрофирма закупает яйца в равных пропорциях из обоих хозяйств, тогда:
- \( P(A_1) = P(A_2) = 0.5 \).
Теперь используем формулу полной вероятности для \( P(B) \): \[ P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2). \]
Подставим известные значения: \[ 0.15 = 0.05 \cdot 0.5 + 0.30 \cdot 0.5. \]
Теперь найдем \( P(A_1 | B) \) — вероятность того, что яйцо из первого хозяйства при условии, что оно высшей категории. Используем формулу Байеса: \[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)}. \]
Подставляем все известные значения: \[ P(A_1 | B) = \frac{0.05 \cdot 0.5}{0.15}. \]
Рассчитаем: \[ P(A_1 | B) = \frac{0.025}{0.15} \approx 0.1667. \]
Таким образом, вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства, составляет примерно \( 0.1667 \) или \( 16.67\% \).
