Задача 5. (10 баллов) Для целых чисел а, b и с верно равенство а + 3b = 4b + 6c = 3c + 6а. Найдите наименьшее положительное значение суммы а + b + с.
Для решения данной задачи начнем с равенств, записанных в условии:
- \( a + 3b = 4b + 6c \)
- \( 4b + 6c = 3c + 6a \)
- \( 3c + 6a = a + 3b \)
Первое уравнение можно преобразовать. Переносим все элементы в одну сторону:
\[ a + 3b - 4b - 6c = 0 \implies a - b - 6c = 0 \implies a = b + 6c \tag{1} \]
Теперь перейдем ко второму уравнению:
\[ 4b + 6c - 3c - 6a = 0 \implies 4b + 3c - 6a = 0 \implies 6a = 4b + 3c \implies a = \frac{4b + 3c}{6} \tag{2} \]
Теперь рассмотрим третье уравнение:
\[ 3c + 6a - a - 3b = 0 \implies 3c + 5a - 3b = 0 \implies 5a = 3b - 3c \implies a = \frac{3b - 3c}{5} \tag{3} \]
Теперь у нас есть три уравнения:
- (1) \( a = b + 6c \)
- (2) \( a = \frac{4b + 3c}{6} \)
- (3) \( a = \frac{3b - 3c}{5} \)
Мы можем приравнять выражения для \( a \) из (1) и (2):
\[ b + 6c = \frac{4b + 3c}{6} \]
Умножим обе стороны на 6, чтобы избавиться от дроби:
\[ 6b + 36c = 4b + 3c \] \[ 2b + 33c = 0 \implies 2b = -33c \implies b = -\frac{33}{2}c \]
Это значение не подходит, так как \( b \) должно быть целым. Теперь попробуем приравнять (1) и (3):
\[ b + 6c = \frac{3b - 3c}{5} \]
Умножим обе стороны на 5:
\[ 5b + 30c = 3b - 3c \] \[ 2b + 33c = 0 \implies b = -\frac{33}{2}c \]
Теперь если возьмем \( c = 2k \) (где \( k \) – целое число), то \( b = -33k \) и подставляем в (1):
\[ a = -33k + 12k = -21k \]
Теперь сумма \( a + b + c \):
\[ a + b + c = -21k - 33k + 2k = -52k \]
Мы хотим найти наименьшее положительное значение суммы, что означает, что \( -52k > 0 \implies k < 0 \). Выбираем \( k = -1 \):
\[ a = 21, b = 33, c = -2 \implies a + b + c = 21 + 33 - 2 = 52 \]
Таким образом, наименьшее положительное значение суммы \( a + b + c = 52 \).
Ответ: наименьшее положительное значение суммы \( a + b + c = 52 \).
