(14 баллов) Сколько целых значений к, при которых прямая у - кх не пересекает параболы y = x2 - 20x + 123 и y = x2 + 30x + 300?

Для того чтобы определить количество целых значений \( k \), при которых прямая \( y = kx \) не пересекает параболы \( y = x^2 - 20x + 123 \) и \( y = x^2 + 30x + 300 \), нам нужно изучить условия, при которых уравнение \( kx = x^2 - 20x + 123 \) и \( kx = x^2 + 30x + 300 \) не имеет решений.

1. Парабола \( y = x^2 - 20x + 123 \): Уравнение для пересечения будет: \[ kx = x^2 - 20x + 123 \implies x^2 - (20 + k)x + 123 = 0 \] Для того чтобы прямая не пересекала параболу, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть меньше нуля: \[ D_1 = (20 + k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 123 < 0 \] Решим неравенство: \[ (20 + k)^2 < 492 \implies |20 + k| < \sqrt{492} \approx 22.2 \] Это приводит к: \[ -22.2 < 20 + k < 22.2 \] Упростим это: \[ -42.2 < k < 2.2 \]

2. Парабола \( y = x^2 + 30x + 300 \): Уравнение для пересечения: \[ kx = x^2 + 30x + 300 \implies x^2 + (30 - k)x + 300 = 0 \] Дискриминант также должен быть меньше нуля: \[ D_2 = (30 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 < 0 \] Решим неравенство: \[ (30 - k)^2 < 1200 \implies |30 - k| < \sqrt{1200} \approx 34.64 \] Это приводит к: \[ -34.64 < 30 - k < 34.64 \] Упростим это: \[ -4.64 < -k < 64.64 \implies -64.64 < k < 4.64 \]

Теперь у нас есть два интервала для \( k \):

1. \( -42.2 < k < 2.2 \) (для первой параболы)
2. \( -64.64 < k < 4.64 \) (для второй параболы)

Чтобы найти общий интервал, найдём пересечение: \[ -42.2 < k < 2.2 \] и \[ -64.64 < k < 4.64 \]

Общий интервал будет: \[ -42.2 < k < 2.2 \]

Теперь определим целые значения \( k \) в этом интервале:

• Находим целые числа в диапазоне от -42 до 2, что включает: \(-42, -41, -40, \ldots, 0, 1, 2\).

Сначала определим количество целых чисел:

• От -42 до 2 включительно, это \( 2 - (-42) + 1 = 45 \) значений.

Таким образом, существует 45 целых значений \( k \), при которых прямая \( y = kx \) не пересекает указанные параболы.